Question

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=4

CMR: \(\sqrt[4]{a^3}+\sqrt[4]{b^3}+\sqrt[4]{c^3}>2\sqrt{2}\)

Answer 1

Lời giải:

Vì \(a+b+c=4;a,b,c>0\Rightarrow 0< a,b,c< 4\)

Ta có:

\(0< a< 4\Rightarrow \sqrt[4]{a}< \sqrt{2}\)

\(\Rightarrow a< \sqrt{2}.\sqrt[4]{a^3}\)

Hoàn toàn tương tự: \(b< \sqrt{2}.\sqrt[4]{b^3}; c< \sqrt{2}.\sqrt[4]{c^3}\)

Cộng theo vế các BĐT vừa thu được ở trên:

\(\Rightarrow a+b+c< \sqrt{2}(\sqrt[4]{a^3}+\sqrt[4]{b^3}+\sqrt[4]{c^3})\)

\(\Leftrightarrow 4< \sqrt{2}(\sqrt[4]{a^3}+\sqrt[4]{b^3}+\sqrt[4]{c^3})\)

\(\Leftrightarrow \sqrt[4]{a^3}+\sqrt[4]{b^3}+\sqrt[4]{c^3}> 2\sqrt{2}\) (đpcm)