Question

Cho a;b;c không âm thỏa a+b+c=3. Chứng minh:

\(\dfrac{a}{b^3+16}+\dfrac{b}{c^3+16}+\dfrac{c}{a^3+16}\ge\dfrac{1}{6}\)

Answer 1

Ta có:

\(\sum\dfrac{a}{b^3+16}=\sum\left(\dfrac{a}{16}-\dfrac{ab^3}{16\left(b^3+16\right)}\right)\ge\dfrac{a+b+c}{16}-\dfrac{ab^2+bc^2+ca^2}{192}\)

\(=\dfrac{3}{16}-\dfrac{ab^2+bc^2+ca^2}{192}\)

Giờ ta cần chứng minh

\(ab^2+bc^2+ca^2\le4\)

Ta có bổ đề:

\(ab^2+bc^2+ca^2+abc\le\dfrac{4\left(a+b+c\right)^3}{27}\)(cái này tự chứng minh nha)

\(\Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le4-abc\le4\)

Answer 2

Sao chỗ đó e lại nghĩ là a dùng cosi mẫu thế e.