Question

cho a,b,c dương thỏa mãn abc=1.CMR:

\(a^2+b^2+c^2+a+b+c\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3\)

\(\Rightarrow (a+b+c)^2\geq 9\Leftrightarrow (a+b+c)^2\geq 9abc\) (do \(abc=1\) )

\(\Rightarrow a+b+c\geq \frac{9abc}{a+b+c}\)

Do đó:

\(a^2+b^2+c^2+a+b+c\geq a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c}(**)\)

Giờ ta sẽ chứng minh:

\(a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(ab+bc+ac)(*)\)

\(\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)+9abc\geq 2(ab+bc+ac)(a+b+c)\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ac(c+a)\)

(đúng theo BĐT Schur bậc 3)

Do đó \((*)\) đúng.

Từ \((**); (*)\Rightarrow a^2+b^2+c^2+a+b+c\geq 2(ab+bc+ac)\)

Ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)