Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
khoimzx

cho a,b,c dương thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\)

Chứng minh rằng : \(\frac{a^4}{b+2}+\frac{b^4}{c+2}+\frac{c^4}{a+2}\ge1\)

Akai Haruma
23 tháng 6 2020 lúc 1:19

Cách khác:

Áp dụng BĐT AM-GM có:

\(\frac{a^4}{b+2}+\frac{b+2}{9}\geq \frac{2}{3}a^2\)

Hoàn toàn tương tự với các phân thức khác và cộng theo vế ta có:

\(\frac{a^4}{b+2}+\frac{b^4}{c+2}+\frac{c^4}{a+2}\geq \frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)-\frac{a+b+c+6}{9}=2-\frac{a+b+c+6}{9}(1)\)

Cũng theo hệ thức quen thuộc của BĐT AM-GM:

$3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2\Leftrightarrow 9\geq (a+b+c)^2\Rightarrow a+b+c\leq 3(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow \frac{a^4}{b+2}+\frac{b^4}{c+2}+\frac{c^4}{a+2}\geq 2-\frac{3+6}{9}=1$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$


Các câu hỏi tương tự
Thuyết Dương
Xem chi tiết
Nguyễn Bùi Đại Hiệp
Xem chi tiết
vũ manh dũng
Xem chi tiết
Văn Thắng Hồ
Xem chi tiết
Nguyễn Mai
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Yến Nga
Xem chi tiết
fghj
Xem chi tiết
Văn Thắng Hồ
Xem chi tiết
Nguyễn Bùi Đại Hiệp
Xem chi tiết