Khi dính đến tâm đường tròn nội tiếp thì có 2 cách giải, 1 là trâu bò (giả sử tâm I(x;y) và sử dụng đẳng thức khoảng cách từ I đến 3 cạnh tam giác bằng nhau, hoặc là viết phương trình 2 đường phân giác trong tìm I), cách 2 là sử dụng đẳng thức cho tâm đường tròn nội tiếp:
\(BC.\overrightarrow{IA}+AC.\overrightarrow{IB}+AB.\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\)
Nếu sử dụng đẳng thức này thì luôn tìm ra tâm I cực kì nhanh, em học nó chưa nhỉ?
\(Pt\left(C\right):x^2+y^2-2ax-2by+c=0\)
\(\left\{{}\begin{matrix}A\left(11;-7\right)\in\left(C\right)\\B\left(23;9\right)\in\left(C\right)\\C\left(-1;2\right)\in\left(C\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}11^2+\left(-7\right)^2-2.11a-2.\left(-7\right)b+c=0\\23^2+9^2-2.23a-2.9b+c=0\\\left(-1\right)^2+2^2-2.\left(-1\right)a-2.2b+c=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-22a+14b+c=-170\\-46a-18b+c=-610\\2a-4b+c=-5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=11\\b=\dfrac{11}{2}\\c=-5\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I\left(11;\dfrac{11}{2}\right)\)
Bán kính \(R=\sqrt{a^2+b^2-c}=\sqrt{11^2+\dfrac{11}{2}^2+5}=\dfrac{25}{2}\)
Vậy pt đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC:\left(x-11\right)^2+\left(y-\dfrac{11}{2}\right)^2=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\)
Ptđt có dạng: \(\left(C\right):x^2+y^2-2ax-2by+c=0\left(a^2+b^2-c>0\right)\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}A\in\left(C\right):11^2+\left(-7\right)^2-22a+14b+c=0\\B\in\left(C\right):23^2+9^2-46a-18b+c=0\\C\in\left(C\right):\left(-1\right)^2+2^2+2a-4b+c=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=11\\b=\dfrac{11}{2}\\c=-5\end{matrix}\right.\) Vậy \(\left(C\right):x^2+y^2-22x-11y-5=0\)
\(AB=20\) ; \(AC=15\); \(BC=25\) (tam giác này vuông tại A, nhưng thôi ko liên quan)
Gọi \(I\left(x;y\right)\) là tâm đường tròn nội tiếp \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AI}=\left(x-11;y+7\right)\\\overrightarrow{BI}=\left(x-23;y-9\right)\\\overrightarrow{CI}=\left(x+1;y-2\right)\end{matrix}\right.\)
Áp dụng đẳng thức:
\(BC.\overrightarrow{AI}+AC.\overrightarrow{BI}+AB.\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{0}\)
\(\Rightarrow25.\left(x-11;y+7\right)+15.\left(x-23;y-9\right)+20.\left(x+1;y-2\right)=\left(0;0\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}60x=600\\60y=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I\left(10;0\right)\)
\(\overrightarrow{AB}=\left(12;16\right)\Rightarrow\) đường thẳng AB nhận \(\left(4;-3\right)\) là 1 vtpt
Phương trình AB:
\(4\left(x-11\right)-3\left(y+7\right)=0\Leftrightarrow4x-3y-65=0\)
\(r=d\left(I;AB\right)=5\)
Phương trình: \(\left(x-10\right)^2+y^2=25\)
