Question

Cho 🔺ABC cân tại A, có đường cao AH, I là trung điểm AB, E đối xứng với H qua I

a) Các tứ giác AHBE; ACHE là hình gì? Vì sao?

b) Cho AC=5cm; BC=6cm. Tính diện tích tứ giác AHBE?

c) 🔺ABC cần thêm điều kiện gì thì AHBE là hình vuông?

Answer 1

Hình bạn tự vẽ nhé! :)

a, Xét tam giác ABH vuông tại H có I là trung điểm của AB

⇒ \(IH=AI=BI=\frac{AB}{2}\)

\(\Rightarrow IH=IE=AI=BI\)

△AIH=△EIB( c-g-c)

\(\Rightarrow\widehat{IEB}=\widehat{IHA}\left(haigóctươngứng\right)vàAH=EB\) Mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong nên EB//AH

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}EB//AH\\EB=AH\end{matrix}\right.\Rightarrow AEBHlàhìnhbìnhhành\)

Mà \(\widehat{AHB}=90^0\)=> AEBH là hình chữ nhật

=> AE// BH và EA= BH

Vì tam giác ABC cân nên đường cao AH chính là đường trung tuyến

=> BH=HC

Suy ra : AE//HC và AE=HC

=> AEHC là hình bình hành.

b, AB= AC = 5cm ; BH = HC = BC/2 =3cm

Áp dụng đinh lý Pytago vào tam giác ABH vuông tại H ta có

\(AB^2=AH^2+BH^2\\ =>AH=4\left(cm\right)\)

\(S_{AHBE}=AH\cdot\frac{BH}{2}=4\cdot\frac{3}{2}=6\left(cm^2\right)\)

c, AHBE là hình vuông <=> AB vuông góc với EH mà EH// AC

=> AB vuông góc AC

Vậy tam giác ABC cần thêm điều kiện là vuông cân tại A.