Giả sử tồn tại a, b nguyên dương sao cho A và B đồng thời là số chính phương.
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a+b\right)^2-2a^2=m^2\left(1\right)\\\left(a+b\right)^2-2b^2=n^2\left(2\right)\end{matrix}\right.\left(I\right)\) (m, n ∈ N)
Lấy (2) trừ (1) ta có:
2(a - b)(a + b) = (n - m)(n + m) (3)
Vì VT(3) ⋮ 2 => VP(3) ⋮ 2 => (n - m)(n + m) ⋮ 2
Mà n - m và m + n cùng tính chẵn lẽ => n - m ⋮ 2 và n + m ⋮ 2
=> VP(3) ⋮ 4
=> (a - b)(a + b) ⋮ 2 mà a - b và a + b cùng tính chẵn lẻ => a - b ⋮ 2 và a + b ⋮ 2
Từ (1) ta có: VT ⋮ 2 => VP ⋮ 2 => m ⋮ 2. Đặt m = 2m'
Cmtt ta có n ⋮ 2. Đặt n = 2n'
\(\left(I\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a+b\right)^2-2a^2=4m'^2\left(3\right)\\\left(a+b\right)^2-2b^2=4n'^2\left(4\right)\end{matrix}\right.\)
Vì a + b ⋮ 2 => (a + b)2 ⋮ 4
Từ (3) ta có a2 ⋮ 2 => a ⋮ 2, tương tự b ⋮ 2
Cứ chứng minh như vậy ta sẽ có a và b chia hết cho 2k ∀ k ∈ N
Điều này chỉ đúng khi và chỉ khi a = b = 0 (vô lý)
Vậy ...
(Bài làm trên đây kết hợp giữa 2 phương pháp chính là phản chứng và xuống thang đó)
Mashiro Shiina
Mysterious Person
Nguyễn Huy Tú
Có thể chỉ cho em hướng cách giải và hướng để làm dạng này được không mọi người ?
Giả sử tồn tại a, b nguyên dương sao cho A và B đồng thời là số chính phương.
Đặt {(a+b)2−2a2=m2(1)(a+b)2−2b2=n2(2)(I) (m, n ∈ N)
Lấy (2) trừ (1) ta có:
2(a - b)(a + b) = (n - m)(n + m) (3)
Vì VT(3) ⋮ 2 => VP(3) ⋮ 2 => (n - m)(n + m) ⋮ 2
Mà n - m và m + n cùng tính chẵn lẽ => n - m ⋮ 2 và n + m ⋮ 2
=> VP(3) ⋮ 4
=> (a - b)(a + b) ⋮ 2 mà a - b và a + b cùng tính chẵn lẻ => a - b ⋮ 2 và a + b ⋮ 2
Từ (1) ta có: VT ⋮ 2 => VP ⋮ 2 => m ⋮ 2. Đặt m = 2m'
Cmtt ta có n ⋮ 2. Đặt n = 2n'
(I)⇔{(a+b)2−2a2=4m′2(3)(a+b)2−2b2=4n′2(4)
Vì a + b ⋮ 2 => (a + b)2 ⋮ 4
Từ (3) ta có a2 ⋮ 2 => a ⋮ 2, tương tự b ⋮ 2
Cứ chứng minh như vậy ta sẽ có a và b chia hết cho 2k ∀ k ∈ N
Điều này chỉ đúng khi và chỉ khi a = b = 0 (vô lý)
Vậy ...
