Câu hỏi của Phạm Vũ Ngọc Duy

Question

Cho $a,b$ là các số tự nhiên sao cho: $a^2-b^2+a+b=b^2$

Chứng minh rằng $a+b$ là số chính phương.

Anh Triêt · Accepted Answer

$a^2-b^2+a+b=b^2$

$\Rightarrow a^2-ab+ab-b^2+\left(a+b\right)=b^2$

$\Rightarrow a\left(a-b\right)+b\left(a-b\right)+\left(a+b\right)=b^2$

$\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)+\left(a+b\right)=b^2$

$\Rightarrow\left(a-b+1\right)\left(a+b\right)=b^2$

Gọi $d=ƯCLN\left(a-b+1,a+b\right)$

$\Rightarrow b^2=\left(a-b+1\right)\left(a+b\right)⋮d^2$

$\Rightarrow b⋮d$

$\Rightarrow a+1⋮d,a⋮d$

$\Rightarrow1⋮d$

$\Rightarrow d=1$

$\Rightarrow a-b+1,a+b$ nguyên tố cùng nhau

$\Rightarrow a+b$ là số chính phươngCâu trả lời: $a^2-b^2+a+b=b^2$