Lời giải:
Đặt \(\left\{\begin{matrix} a+b=x\\ ab=y\end{matrix}\right.\)
Điều kiện đề bài tương đương với:
\((a+b)^2-2ab=a+b+ab\)
\(\Leftrightarrow x^2-2y=x+y\Leftrightarrow x^2-x=3y\)
Và:
\(M=a^3+b^3+2000=(a+b)^3-3ab(a+b)+2000\)
\(=x^3-3xy+2000\)
\(=x^3-x(x^2-x)+2000\)
\(=x^2+2000\)
-----------------
Quay trở lại với điều kiện đề bài:
Ta có: \(x^2-4y=(x+y)^2-4xy=(x-y)^2\geq 0\Rightarrow x^2\geq 4y\)
\(\Leftrightarrow \frac{3}{4}x^2\geq 3y\)
\(\Leftrightarrow \frac{3}{4}x^2\geq x^2-x\)
\(\Leftrightarrow \frac{x^2}{4}-x\leq 0\Leftrightarrow x(x-4)\leq 0\Leftrightarrow 0\leq x\leq 4\)
Suy ra \(x^2\le 16\Rightarrow M=x^2+2000\leq 2016\)
Vậy \(M_{\max}=2016\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=2\)
