Question

Cho a;b ;c là các số ko âm:

CMR: \(4\left(\sqrt{a^3b^3}+\sqrt{a^3c^3}+\sqrt{b^3c^3}\right)\le4c^3+\left(a+b\right)^3\)

Answer 1

Thầy Nguyễn Việt Lâm ơi! Em nghị giờ đi theo con đường là chỉ cần cm đc

2ab(a+b) + 2bc(b+c) + 2ac(a+c) bé thua hoặc bằng 4c^3 + (a+b)^3 

Rồi sử dụng cái tích chất bắc cầu k biết có đc không nữa.

Answer 2

Đơn giản là phân tích bình phương thôi, để loại căn cho dễ nhìn, đặt \(\left(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\right)=\left(x;y;z\right)\)

\(\left(x^2+y^2\right)^3+4z^6\ge4x^3y^3+4y^3z^3+4z^3x^3\)

\(\Leftrightarrow x^6+y^6+3x^4y^2+3x^2y^4+4z^6-4x^3y^3-4y^3z^3-4z^3x^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^6+y^6+4z^6+2x^3y^3-4z^3x^3-4y^3z^3\right)+3\left(x^4y^2-2x^3y^3+x^2y^4\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^3+y^3-2z^3\right)^2+3\left(x^2y-xy^2\right)^2\ge0\) (luôn đúng)