Question

Cho \(a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3=1\) Tính \(S=a^2+b^9+c^{2016}\)

Answer 1

Lời giải:

Từ \(a^2+b^2+c^2=1\Rightarrow a^2,b^2,c^2\leq 1\Rightarrow -1\leq a,b,c\leq 1\)

Có \(a^3+b^3+c^3=a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow a^2(a-1)+b^2(b-1)+c^2(c-1)=0\)

Vì \(a,b,c\leq 1\) nên \(\left\{\begin{matrix} a^2(a-1)\leq 0\\ b^2(b-1)\leq 0\\ c^2(c-1)\leq 0\end{matrix}\right.\Rightarrow a^2(a-1)+b^2(b-1)+c^2(c-1)\leq 0\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} a^2(a-1)=0\\ b^2(b-1)=0\\ c^2(c-1)=0\end{matrix}\right.\)

Mà \(a^3+b^3+c^3=1\) nên trong \(a,b,c\) có hai số bằng $0$ và một số bằng $1$

Suy ra \(S=a^2+b^9+c^{2016}=1\)