Question

cho a, b, c, d là các số thực thay đổi thỏa mãn \(a^2+b^2=2,c^2+d^2+25=6c+8d\)

tìm giá trị lớn nhất của \(P=3c+4d-\left(ac+bd\right)\)

Answer 1

\(c^2-6c+9+d^2-8d+16=0\Leftrightarrow\left(c-3\right)^2+\left(d-4\right)^2=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=3\\d=4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow P=25-\left(3a+4b\right)\)

Mặt khác \(\left(3a+4b\right)^2\le\left(3^2+4^2\right)\left(a^2+b^2\right)=50\)

\(\Rightarrow-5\sqrt{2}\le3a+4b\le5\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow P\le25+5\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow P_{max}=25+5\sqrt{2}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{-3\sqrt{2}}{5}\\b=\frac{-4\sqrt{2}}{5}\end{matrix}\right.\)