Question

Cho A = \(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{100}\)

CMR: A ko là số tự nhiên

Answer 1

Gọi MSC của các phân số hạng của A là 1 . 3 . 5 ... 99 . 2⁶

Khi đó ta có: \(A=\frac{k_1+k_2+k_3+...+k_{100}}{1.3.5...99.2^6}\) (k₁, k₂, k₃,..., k₁₀₀ lần lượt là thừa số phụ của \(\frac{1}{1};\frac{1}{2};\frac{1}{3};...;\frac{1}{100}\)).

Ta thấy rằng k₁, k₂, k₃,..., k₁₀₀ đều là chẵn (Vì chứa ít nhất một thừa số 2) trừ k₆₄ (Nó là thừa số phụ của \(\frac{1}{64}\) nên chính bằng 1 . 3 . 5 ... 99 là lẻ).

Suy ra k₁ + k₂ + k₃ + ... + k₁₀₀ là một số lẻ. Mà 1 . 3 . 5 ... 99 . 2⁶ là chẵn nên A không là số tự nhiên.