Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Tobot Z

Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=4\).Tìm GTLN của biểu thức

\(P=\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\)

Nguyễn Việt Lâm
26 tháng 2 2019 lúc 22:15

\(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z}+\dfrac{1}{y+z}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z}+\dfrac{1}{y+z}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=2\)

Lại có \(\dfrac{1}{2x+y+z}=\dfrac{1}{x+y+x+z}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z}\right)\)

Tương tự \(\dfrac{1}{x+2y+z}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}\right)\)

\(\dfrac{1}{x+y+2z}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x+z}+\dfrac{1}{y+z}\right)\)

Cộng vế với vế: \(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z}+\dfrac{1}{y+z}\right)=\dfrac{1}{2}.2=1\)

\(\Rightarrow P_{max}=1\) khi \(x=y=z=\dfrac{3}{4}\)


Các câu hỏi tương tự
camcon
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Hằng
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Hằng
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Hằng
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Hằng
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
Lê Bảo Nghiêm
Xem chi tiết