Cho 25 số nguyên trong đó tích của 3 số bất kì là một số dương. Chứng tỏ rằng tất cả 25 số đó đều là số nguyên dương
hướng dẫn
vì tích của 3 số bất kì là một số dương nên trong 3 số bất kì ít nhất có một số dương. ta chọn số đó ra
24 số còn lại ta chia làm 8 nhóm, mỗi nhóm có 3 số
vì tích của 3 số bất kì là 1 số dương nên với mỗi nhóm 3 số sẽ có ít nhất 1 số dương, ta chọn số dương đó ra khỏi mỗi nhóm trong 8 nhóm
như thế với 24 số được chia làm 8 nhóm sau khi lay các số dương trong mỗi nhóm ra thì còn 24-8=16 số
với 16 số này ta cũng chọn được 1 số dương( do tích của 3 số bất kì dương), bỏ riêng ra
=> còn 15 số,ta lại chia thành 5 nhóm, mỗi nhóm 3 số
lí luận tương tự với 5 nhóm này, ta lại chọn được 5 số dương trong các nhóm (mỗi nhóm lấy 1 số)
=> còn 15-5=10 số
làm tương tự
... cuối cùng ta sẽ chứng tỏ được rằng 25 số này đều dương
Trong 25 số đã cho không thể có số nào bằng 0 vì nếu trái lại thì tích ba số bất kì bàng 0 ( trái với đề bài )
Trong 25 số cũng không thể có nhiều hơn hai số nguyên âm vì tráu lại thì tích ba số bất kì là một số nguyên âm ( trái với đề bài )
Vậy ít nhất có 23 số nguyên dương. Giả sử các số đó là:
\(a_1< a_2< a_3< ...< a_{24}< a_{25}\)
Như vậy \(a_{24};a_{25}>0\) mà \(a_1;a_{24};a_{25}>0\Rightarrow a_1>0\)
Vậy cả 25 số đó đều là số nguyên dương.
