Câu 8. Cho tam giá c ABC vuông tạ i B, tia phân giác của góc BAC cắt cạ nh BC tại điểm D. Vẽ DE ? AC (E 2 AC). a) Chùng minh rằ ng t giácBDA = t giác EDA và t giác BAE cân. b) Chùng minh AD vuông góc BE. c) Qua C vẽđường thẳng vuông góc với AD tại H, CH cắt đường thẳng AB tại F. Chùng minh rằ ng H là trung điểm của FC v BE // FC. d) Chùng minh D; E; F thẳng hàng.
a) Xét 2 \(\Delta\) vuông \(BDA\) và \(EDA\) có:
\(\widehat{ABD}=\widehat{AED}=90^0\left(gt\right)\)
Cạnh DA chung
\(\widehat{BAD}=\widehat{EAD}\) (vì \(AD\) là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\))
=> \(\Delta BDA=\Delta EDA\) (cạnh huyền - góc nhọn).
=> \(AB=AE\) (2 cạnh tương ứng).
=> \(\Delta BAE\) cân tại \(A.\)
b) Vì \(AB=AE\left(cmt\right)\)
=> \(A\) thuộc đường trung trực của \(BE\) (1).
+ Theo câu a) ta có \(\Delta BDA=\Delta EDA.\)
=> \(BD=ED\) (2 cạnh tương ứng).
=> \(D\) thuộc đường trung trực của \(BE\) (2).
Từ (1) và (2) => \(AD\) là đường trung trực của \(BE.\)
=> \(AD\perp BE\) (định nghĩa đường trung trực).
c) Ta có: \(\widehat{BAD}=\widehat{EAD}\) (vì \(AD\) là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)).
=> \(\widehat{FAH}=\widehat{CAH}.\)
Xét 2 \(\Delta\) vuông \(AFH\) và \(ACH\) có:
\(\widehat{AHF}=\widehat{AHC}=90^0\left(gt\right)\)
Cạnh AH chung
\(\widehat{FAH}=\widehat{CAH}\left(cmt\right)\)
=> \(\Delta AFH=\Delta ACH\) (cạnh góc vuông - góc nhọn kề).
=> \(FH=CH\) (2 cạnh tương ứng).
=> \(H\) là trung điểm của \(FC.\)
+ Vì \(AD\perp CH\left(gt\right)\)
Mà \(F\in CH\left(gt\right)\)
=> \(AD\perp FC.\)
+ Có:
\(\left\{{}\begin{matrix}AD\perp BE\left(cmt\right)\\AD\perp FC\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)
=> \(BE\) // \(FC\) (từ vuông góc đến song song) (đpcm).
Chúc bạn học tốt!
