Câu 2:
Tìm GTLN của biểu thức sau :
\(A=\sqrt{3x-5}+\sqrt{7-3x}\)
Giải
ĐK: \(\frac{5}{3}\le x\le\frac{7}{3}\)
Cmr: \(a+b\le2\sqrt{ab}\left(a,b\ge0\right)\)(*)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) luôn đúng với a,b>0
Dấu "=" xảy ra <=> a=b
Ta có \(A=\sqrt{3x-5}+\sqrt{7-3x}\)
=> \(A^2=\left[3x-5+7-3x+2\sqrt{\left(3x-5\right)\left(7-3x\right)}\right]=2+2\sqrt{\left(3x-5\right)\left(7-3x\right)}\)
Áp dụng BĐT (*) ta được:
\(A^2\le2+\left(3x-5\right)+\left(7-3x\right)=4̸\)
\(\Rightarrow A\le2\)
Vậy MaxA=2 <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{5}{3}\le x\le\frac{7}{3}\\3x-5=7-3x\end{matrix}\right.\)=>x=2
