Câu 1:
Với x ≥ 0, x ≠ 9, cho hai biểu thức:
\(A=\dfrac{7}{\sqrt{x}+8}\) và \(B=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}+\dfrac{2}{\sqrt{x}+3}-\dfrac{18}{x-9}.\)
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 36.
2) Chứng minh \(B=\dfrac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+3}.\)
3) Tìm tất cả các giá trị của x để P = A.B có giá trị là số nguyên.
Câu 2:
1) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Một công nhân phải làm xong 210 sản phẩm trong một thời gian quy định. Sau khi làm được 2 giờ với năng suất dự kiến, người đó đã cải tiến các thao tác kĩ thuật nên mỗi giờ làm thêm được 3 sản phẩm. Vì vậy, người đó đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn quy định 2 giờ. Tính số sản phẩm người đó dự kiến làm trong một giờ.
2) Tính diện tích cần để phủ kín một chiếc nón có đường kính đáy là 40cm và độ dài đường kinh là 30cm (cho π ≈ 3,14).
Câu 3:
1) Giải hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2-1}+\dfrac{3}{y}=6\\2\sqrt{x^2-1}-\dfrac{4}{y}=-8\end{matrix}\right.\)
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P); y = x2 và
đường thẳng (d): y = mx + 1.
a) Chứng minh với mọi m ≠ 0, đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 nằm ở hai phía Oy.
b) Tìm giá trị m ≠ 0 để \(\dfrac{x_1^3-x_2^3}{3}+1=x_1^2+x_2^2.\)
Câu 4:
Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn (OA > R). Từ điểm A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Một đường thẳng bất kì đi qua A và không đi qua O, cắt đường tròn (O) tại hai điểm M, N (với AM < AN). Hai đoạn thẳng OA và BC cắt nhau tại H.
1) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp.
2) Chứng minh AM.AN = AB2 và điểm H thuộc đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác OMN.
3) Gọi P là giao điểm của BC và MN; gọi E là giao điểm thứ hai của đường tròn (I) và đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC. Chứng minh ba điểm O, P, E thẳng hàng.
Có vấn đề gì thắc mắc các em hãy bình luận ở dưới đây để mọi người cùng giải đáp nhé.
Mỗi câu trả lời đúng sẽ được thưởng GP.
Câu 1:
1. x =36 ( thoả mãn ĐKXĐ) => √x = 6
Thay √x = 6 vào A ta có:
A = \(\dfrac{7}{6+8}=\dfrac{7}{14}=\dfrac{1}{2}\)
Vậy A = 1/2 tại x = 36
2. B = \(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}+\dfrac{2}{\sqrt{x}+3}-\dfrac{18}{x-9}\)ĐKXĐ: x ≥0 và x ≠9
=\(\dfrac{x+3\sqrt{x}+2\sqrt{x}-6-18}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)
=\(\dfrac{x+5\sqrt{x}-24}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)
=\(\dfrac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+3}\)(Đpcm)
3. P = A.B ( với x ∈ ĐKXĐ)
=\(\dfrac{7}{\sqrt{x}+8}.\dfrac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+3}\)
=\(\dfrac{7}{\sqrt{x}+3}\)
Do x ≥ 0 => \(\sqrt{x}\ge0\)=> \(\sqrt{x}+3>0\)=> \(\dfrac{7}{\sqrt{x}+3}\)>0 => P > 0
Do x ≥ 0 => \(\sqrt{x}\ge0\)=> \(\sqrt{x}+3\ge3\)=> \(\dfrac{7}{\sqrt{x}+3}\le\dfrac{7}{3}\)
=> 0< P ≤ \(\dfrac{7}{3}\)
mà để P nhận giá trị nguyên => P ∈ \(\left\{1;2\right\}\)
Với P = 1
<=> \(\dfrac{7}{\sqrt{x}+3}\)=1
<=> \(\sqrt{x}+3=7\)
<=> \(\sqrt{x}=4\)
<=> x=16 ( thoả mãn ĐKXĐ)
Với P = 2
<=> \(\dfrac{7}{\sqrt{x}+3}\)=2
<=> \(2\sqrt{x}+6=7\)
<=> \(\sqrt{x}=\dfrac{1}{2}\)
<=> x = \(\dfrac{1}{4}\)(thoả mãn ĐKXĐ)
Vậy tại x ∈ \(\left\{\dfrac{1}{4};16\right\}\)thì P = A.B nhận giá trị nguyên
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2-1}+\dfrac{3}{y}=6\\2\sqrt{x^2-1}-\dfrac{4}{y}=-8\end{matrix}\right.\)ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}y\ne0\\\left[{}\begin{matrix}x\ge1\\x\le-1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
Đặt \(\sqrt{x^2-1}=a\left(a\ge0\right)\); \(\dfrac{1}{y}=b\)
Hệ phương trình trở thành: \(\left\{{}\begin{matrix}a+3b=6\\2a-4b=-8\end{matrix}\right.\)
<=> \(\left\{{}\begin{matrix}a+3b=6\\a-2b=-4\end{matrix}\right.\)
<=> \(\left\{{}\begin{matrix}5b=10\\a+3b=6\end{matrix}\right.\)
<=> \(\left\{{}\begin{matrix}b=2\\a=0\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)
Với \(\left\{{}\begin{matrix}a=0\\b=2\end{matrix}\right.\)=> \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2-1}=0\\\dfrac{1}{y}=2\end{matrix}\right.\)<=> \(\left\{{}\begin{matrix}x=\pm1\\y=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)(thoả mãn ĐKXĐ)
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) ∈ \(\left\{\left(1;\dfrac{1}{2}\right);\left(-1;\dfrac{1}{2}\right)\right\}\)
