Câu 1 : Cho hình lập phương ABCDEFGH ,góc giữa hai véc tơ \(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BG}\) là :
A. 450
B. 300
C. 600
D. 1200
Câu 2 : Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a , IJ = \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\) ( I , J lần lượt là trung điểm của BC và AD ) . Số đo giữa hai đường thẳng AB và CD là :
A. 300
B. 450
C. 600
D. 900
Câu 3 : Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với (ABCD) , đáy ABCD là hình chữ nhật . Biết SA = a\(\sqrt{3}\) , AB = a , AD = \(a\sqrt{3}\) . Số đo giữa cạnh bên SB và cạnh AB là :
A. 600
B. 450
C. 900
D. 300
Câu 4 : Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm CD , \(\alpha\) là góc giữa AC và BM . Chọn khẳng định đúng ?
A. \(cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{4}\)
B. \(cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
C. \(cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{6}\)
D. \(\alpha=60^0\)
Câu 5: Cho tứ diện ABCD với \(AB\perp AC\) , \(AB\perp BD\) . Gọi P , Q lần lượt là trung điểm của AB và CD . Góc giữa PQ và AB là :
A. 900
B. 600
C. 300
D. 450
Câu 6 : Cho hình thoi ABCD có tâm O , AC = 2a . Lấy điểm S không thuộc (ABCD) sao cho \(SO\perp\left(ABCD\right)\) . Biết tan \(\widehat{SOB}\) = \(\frac{1}{2}\) . Tính số đo của góc giữa SC và (ABCD)
A. 750
B. 450
C. 300
D. 600
Câu 7 : Cho hình chóp S.ABC có \(SA\perp\left(ABC\right)\) và tam giác ABC không vuông . Gọi H , K lần lượt là trực tâm \(\Delta ABC\) và \(\Delta SBC\) . Số đo góc tạo bởi SC và mp (BHK) là :
A. 450
B. 1200
C. 900
D. 650
Câu 8 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , \(SA\perp\left(ABC\right)\) , \(SA=a\frac{\sqrt{3}}{2}\) . Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với trung tuyến SM của tam giác SBC . Thiết diện của (P) và hình chóp S.ABC có diện tích bằng ?
A. \(\frac{a^2\sqrt{6}}{8}\)
B. \(\frac{a^2}{6}\)
C. \(a^2\)
D. \(\frac{a^2\sqrt{16}}{16}\)
Câu 9 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC . Biết tam giác SBC là tam giác đều . Tính số đo của góc giữa SA và (ABC)
A. 600
B. 750
C. 450
D. 300
HELP ME !!!! giải chi tiết giùm mình với ạ
Câu 1:
Hai vecto \(\overrightarrow{BG}\) và \(\overrightarrow{AH}\) song song cùng chiều
\(\Rightarrow\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{BG}\right)=\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AH}\right)=\widehat{CAH}\)
Tam giác CAH đều (3 cạnh bằng nhau)
\(\Rightarrow\widehat{CAH}=60^0\)
Câu 2:
Gọi M là trung điểm AC \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}IM//AB\\IM=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}\end{matrix}\right.\) (đường trung bình)
\(\left\{{}\begin{matrix}JM//CD\\JM=\frac{1}{2}CD=\frac{a}{2}\end{matrix}\right.\) (cũng đường trung bình)
\(\Rightarrow\) Góc giữa AB và CD bằng góc nhọn giữa IM và JM
\(cos\widehat{IMJ}=\frac{IM^2+JM^2-IJ^2}{2IM.JM}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\widehat{IMJ}=120^0\Rightarrow\) góc giữa AB và CD bằng \(180^0-120^0=60^0\)
Câu 3:
\(\left(SB;AB\right)=\widehat{SBA}\)
\(tan\widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}=\sqrt{3}\Rightarrow\widehat{SBA}=60^0\)
Câu 4:
Tứ diện ABCD đều \(\Rightarrow AC\perp BD\)
\(cos\left(AC;BM\right)=\frac{\left|\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BM}\right|}{AC.BM}=\frac{\left|\overrightarrow{AC}\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}\right)\right|}{2AC.BM}\)
\(=\frac{\left|\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}\right|}{2AC.BM}=\frac{AC.BC.cos60^0}{2AC.BM}=\frac{a^2.\frac{1}{2}}{2.a.\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{6}\)
Câu 5:
\(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CQ}\) ; \(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DQ}\)
Cộng vế với vế (với lưu ý \(\overrightarrow{PA}=-\overrightarrow{PB};\overrightarrow{CQ}=-\overrightarrow{DQ}\))
\(\Rightarrow\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{PQ}.\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD}=0+0=0\)
\(\Rightarrow PQ\perp AB\Rightarrow\left(PQ;AB\right)=90^0\)
Câu 6:
Bạn kiểm tra lại đề, \(SO\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SO\perp OB\Rightarrow\widehat{SOB}=90^0\)
Nên không thể có chuyện \(tan\widehat{SOB}=\frac{1}{2}\)
Câu 7:
H là trực tâm tam giác ABC \(\Rightarrow BH\perp AC\)
Mà \(SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BH\)
\(\Rightarrow BH\perp\left(SAC\right)\Rightarrow BH\perp SC\) (1)
K là trực tâm tam giác SBC \(\Rightarrow BK\perp SC\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow SC\perp\left(BHK\right)\Rightarrow\) góc giữa SC và (BHK) bằng 90 độ
Câu 8:
Kẻ \(AH\perp SM\)
Trong mặt phẳng (SBC), qua H kẻ đường thẳng song song BC cắt SB và SC lần lượt tại P và Q
\(\Rightarrow\Delta APQ\) là thiết diện của (P) và chóp
\(AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) (trung tuyến tam giác đều)
\(\Rightarrow SA=AM\Rightarrow\Delta SAM\) vuông cân tại A
\(\Rightarrow AH=\frac{SA\sqrt{2}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{4}\) đồng thời H là trung điểm SM
\(\Rightarrow PQ=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}\) (đường trung bình)
\(\Rightarrow S_{\Delta APQ}=\frac{1}{2}AH.PQ=\frac{a^2\sqrt{6}}{16}\)
Câu 9.
\(SH\perp\left(ABC\right)\Rightarrow\widehat{SAH}\) là góc giữa SA và (ABC)
\(SH=AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\Delta SAH\) vuông cân tại H
\(\Rightarrow\widehat{SAH}=45^0\)
