mk chỉ cho bn bài cuối (toán khó) thôi đó
Đề :
a. Cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng a2+b2+c2 < (ab+ac+bc)
b. Cho đa thức P(x)=ax2+bx+c (a,b,c \(\in\)Z). Biết P(x) \(⋮3\forall x\in Z\) . Cmr: a,b,c đều \(⋮\)3.
Đáp án:
a. Vì a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác nên:
a<b+c (bất đẳng thức tam giác) => a2 < a(b+c)
Chứng minh tương tự ta có:
b2 < b(a+c) và c2 < c(a+b)
=> a2+b2+c2 < a(b+c) + b(a+c) + c(a+b)
=> a2+b2+c2 < ab+bc+ac+bc+ac+bc
=> a2+b2+c2 < 2ab+2ac+2bc
=> a2+b2+c2 < 2(ab+ac+bc) (đpcm)
b. Ta có: P(x)= ax2+bx+c \(⋮3\forall x\in Z\)
* Với x=0 ta có P(0) = c\(⋮\)3 (1)
* Với x=1 ta có P(1)=a+b+c \(⋮\)3 (2)
* Với x=-1 ta có P(-1)=a-b+c \(⋮\)3 (3)
Từ (1), (2) và (3) => \(\left\{{}\begin{matrix}a+b⋮3\\a-b⋮3\end{matrix}\right.\)
=> (a+b) + (a-b) \(⋮\) 3 => (a+b+a-b) \(⋮\) 3 => 2a \(⋮\) 3
=> a\(⋮\)3 (vì 2 và 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau)
=> b\(⋮\)3 (vì a+b \(⋮\) 3 )
Vậy a,b,c đều chia hết cho 3
(a là hằng số khác 0).