Bài 3:Cho tam giác cân ABC cân tại A (AB = AC). Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC.
a) Chứng minh ΔABE = ΔACD .
b) Chứng minh BE = CD.
c) Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh ΔKBC cân tại K.
d) Chứng minh AK là tia phân giác của góc ∠BAC
Bài 4: Cho góc nhọn xOy và N là một điểm thuộc tia phân giác của góc xOy. Kẻ NA vuông góc với Ox (A ∈ Ox), NB vuông góc với Oy (B ∈ Oy)
a) Chứng minh: NA = NB.
b) Tam giác OAB là tam giác gì? Vì sao?
c) Đường thẳng BN cắt Ox tại D, đường thẳng AN cắt Oy tại E. Chứng minh: ND = NE.
d) Chứng minh ON ⊥ DE
Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A, Kẻ AH⊥BC (H ∈ BC)
a) Chứng minh góc ∠BAH = ∠CAH
b) Cho AH = 3 cm, BC = 8 cm. Tính độ dài AC.
c) Kẻ HE ⊥ AB, HD ⊥ AC . Chứng minh AE = AD.
d) Chứng minh ED // BC.
Bài 3: Ta có hình vẽ sau:
a/ Vì AB = AC (gt) mà D, E lần lượt là t/điểm của AB, AC
=> AD = AE = BD = CE
Xét \(\Delta ABEvà\Delta ACD\) có:
AB = AC (gt)
\(\widehat{A}:chung\)
AE = AD (cmt)
\(\Rightarrow\Delta ABE=\Delta ACD\left(c-g-c\right)\left(đpcm\right)\)
b/ Vì \(\Delta ABE=\Delta ACD\left(ýa\right)\)
\(\Rightarrow BE=CD\) (c t/ứng)(đpcm)
c/ Xét \(\Delta BDCvà\Delta CEB\) có:
BC: chung
BD = CE (đã cm)
CD = BE (ý b)
=> \(\Delta BDC=\Delta CEB\left(c-c-c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{BDC}=\widehat{CEB}\) (g t/ứng)
Xét \(\Delta BDK\) và \(\Delta\)CEK có:
\(\widehat{BDC}\) = \(\widehat{CEB}\) (cmt)
BD = CE (đã cm)
\(\widehat{B_1}=\widehat{C_1}\) (g t/ứngs do \(\Delta\)ABE = \(\Delta\)ACD)
=> \(\Delta\)BDK = \(\Delta\)CEK (\(g-c-g\))
=> BK = CK (c t/ứng)
=> \(\Delta\)KBC cân tại K (đpcm)
d/ Xét \(\Delta ABK\) và \(\Delta\)ACK có:
AK: chung
AB = AC (gt)
BK = CK (đã cm)
=> \(\Delta\)ABK = \(\Delta\)ACK (\(c-c-c\))
=> \(\widehat{BAK}\) = \(\widehat{CAK}\) (g t/ứng)
=> AK là tia p/g của goác BAC (đpcm)
Bài 3:
Vẽ hình:
Chứng minh:
a) Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ACD\), có:
AB= AC (\(\Delta ABC:\) cân tại A).
\(\widehat{BAC}:chung\)
AE= AD ( AB= AC, AE= 1/2 AC, AD= 1/2 AB).
=> \(\Delta ABE=\Delta ACD\left(c.g.c\right)\)
b) => BE= CD (2 cạnh tương ứng).
c) => \(\widehat{DBK}=\widehat{ECK}\) (2 góc tương ứng)
Xét \(\Delta BDK\) và \(\Delta CEK,có:\)
\(\widehat{DBK}=\widehat{ECK}\) ( chứng minh trên)
\(BD=CE\) ( AB= AC, BD= 1/2 Ab, CE= 1/2 AC)
\(\widehat{DKB}=\widehat{EKC}\left(đốiđỉnh\right)\)
=> \(\Delta BDK=\Delta CEK\left(g.c.g\right)\)
=> KB= KC (2 cạnh tương ứng).
Xét \(\Delta KBC,có:\)
KB= KC (chứng minh trên).
=> \(\Delta KBCcântạiK\)
d) Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ACM,có:\)
AB= AC (gt)
\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (\(\Delta ABCcântạiA\)).
AM đi qua K => AM là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) hay nói cách khác \(BM=CM\)
=> \(\Delta ABM=\Delta ACM\left(c.g.c\right)\)
=> \(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\) (2 góc tương ứng). (1)
Mặt khác, ta lại có:
\(AM\) nằm giữa AB và AC. (2)
Từ (1) và (2) => AK là phân giác \(\widehat{BAC}\).
