Question

Bài 1: Tìm x thuộc N để (n^2-8)^2 +36 là số nguyên tố

Answer 1

\(\left(n^2-8\right)^2+36\)

\(=\left(n^4-16n^2+64\right)+36\)

\(=n^4+20n^2-36n^2+100\)

\(=\left(n^4+20n^2+100\right)-36n^2\)

\(=\left(n^2+10\right)^2-\left(6n\right)^2\)

\(=\left(n^2+10-6n\right)\left(n^2+10+6n\right)\)

Mà để \(\left(n^2+10-6n\right)\left(n^2+10+6n\right)\) là số nguyên tố thì \(n^2+10-6n=1\) hoặc \(n^2+10+6n=1\)

Mặt khác ta có \(n^2+10-6n< n^2+10+6n\)

\(\Rightarrow n^2+10-6n=1\left(n\in N\right)\)

\(\Rightarrow n^2+9-6n=0\)

\(\Rightarrow\left(n-3\right)^2=0\Rightarrow n=3\)

Vậy với \(n=3\) thì \(\left(n^2-8\right)^2+36\) là số nguyên tố.