Giải
Giả sử tử và mẫu của phân số cùng chia hết cho số nguyên tố d
\(\Rightarrow\)7(6n+4) - 2(21n+3)\(⋮\) d
\(\Rightarrow\) (42n+28)-(42n+6)
\(\Rightarrow\) 22\(⋮\)d
\(\Rightarrow d\in\) {2;11}
Như vậy nếu phân số A rút gọn được cho số nguyên tố d thì d=2 hoặc d=11
Trường hợp phân số rút gọn cho 2 : Ta luôn luôn có 6n+4 chia hết cho 2, còn 21n+3 chia hết cho 2 nếu n là lẻ
Tường hợp phân số rút gọn cho 11 : Ta có 21n+3 chia hết cho 11 \(\Rightarrow\) 22n-n+3 chia hết cho 11.
\(\Rightarrow\) n-3 phải chia hết cho 11 ( vì 22n \(⋮\) 11 nên n-3 phải chia hết cho 11)
Đảo lại với n = 11k +3 (k \(\in\) N) thì 21n+3 và 6n+4 chia hết cho 11
Vậy với n lẻ hoặc n chẵn mà n = 11 k +3 thì phân số A rút gọn được
Chú ý rằng n chẵn khi và chỉ khi k lẻ (k=2m+1) nên kết quả có thể viết là n= 2m+1 hoăc n=2 (11m+7) với m\(\in\)N
