Bài 2:
a)Gọi \(UCLN\left(12n+1;30n+2\right)=d\)
Ta có:
\(\left[5\left(12n+1\right)\right]-\left[2\left(30n+2\right)\right]⋮d\)
\(\Rightarrow\left[60n+5\right]-\left[60n+4\right]⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)
Suy ra \(\frac{12n+1}{30n+2}\) là phân số tối giản
b)Đặt \(A=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{99.100}\)
\(B=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}\)
Ta có: \(B=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}\)\(< \)\(A=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{99.100}\left(1\right)\)
Mà \(A=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{99.100}\)
\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
\(=1-\frac{1}{100}< 1\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(B< A< 1\Rightarrow B< 1\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
Bài 1 :
12 có các ước là : 1; 2; 3; 4; 6; 12
+ \(\left\{{}\begin{matrix}2x+1=1\\y-5=12\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=17\end{matrix}\right.\)
+ \(\left\{{}\begin{matrix}2x+1=12\\y-5=1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{11}{2}\\y=6\end{matrix}\right.\)\(\notin\) N ( loại )
+ \(\left\{{}\begin{matrix}2x+1=2\\y-5=6\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}\\y=11\end{matrix}\right.\) \(\notin\) N ( Loại )
+ \(\left\{{}\begin{matrix}2x+1=6\\y-5=2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{2}\\y=7\end{matrix}\right.\)\(\notin\) N ( Loại )
+ \(\left\{{}\begin{matrix}2x+1=3\\y-5=4\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=9\end{matrix}\right.\)
+ \(\left\{{}\begin{matrix}2x+1=4\\y-5=3\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{2}\\y=8\end{matrix}\right.\) \(\notin\) N (Loại )
Vậy có các cặp (x,y) là : (1,9) ; ( 0,17 )
