Bài 1: Tìm các số tự nhiên x, n sao cho số p = x4 + 24n + 2 là 1 số nguyên tố
Bài 2: Cho hình thoi ABCD có \(\widehat{D}=60^0\). Gọi E. H, G , F lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA
a) CMR: EFGH là hình chữ nhật
b) Cho AG cắt HF tại J. CMR: HF = 4FJ
c) Gọi I là trung điểm FJ và P là giao điểm của EH và DB. CM: IG \(\perp\)IP.
d) Cho AB = 2cm. Tính IP
(2 bài này ở trong đề kiểm tra học kì I năm học 2017-2018, trường THPT Chuyên Hà Nội - AMSTERDAM)
Bài 3: a) Tìm GTNN của biểu thức: p = x4 + x2 - 6x + 9
b) CMR: n2 + 11n + 39 ko chia hết cho 49 với mọi số tự nhiên n
Bài 1:
Ta có:
\(p=x^4+2^{4n+2}=(x^2)^2+(2^{2n+1})^2=(x^2+2^{2n+1})^2-2.x^2.2^{2n+1}\)
\(=(x^2+2^{2n+1})^2-(x.2^{n+1})^2\)
\(=(x^2+2^{2n+1}+x.2^{n+1})(x^2+2^{2n+1}-x.2^{n+1})\)
Từ đây ta thấy để p là số nguyên tố thì bắt buộc một trong hai thừa số trên phải bằng một
Vì \(x^2+2^{2n+1}+x.2^{n+1}> x^2+2^{2n+1}-x.2^{n+1}\) nên
\(x^2+2^{2n+1}-x.2^{n+1}=1\)
\(\Leftrightarrow 2x^2+2^{2n+2}-2.x.2^{n+1}=2\)
\(\Leftrightarrow x^2+(x-2^{n+1})^2=2\)
\(\Rightarrow x^2=2-(x-2^{n+1})^2\leq 2\Rightarrow x\leq \sqrt{2}\)
\(\Rightarrow x\in\left\{0;1\right\}\)
Nếu \(x=0\): \(\Rightarrow 2^{2n+1}=1=2^0\Rightarrow 2n+1=0\) (vô lý với n là số tự nhiên)
Nếu \(x=1\Rightarrow 1+2^{2n+1}-2^{n+1}=1\)
\(\Leftrightarrow 2^{2n+1}-2^{n+1}=0\Leftrightarrow 2n+1=n+1\)
\(\Leftrightarrow n=0\)
Khi đó \(p=5\in \mathbb{P}\)
Vậy \((x,n)=(1;0)\)
Bài 3:
a)
\(p=x^4+x^2-6x+9\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số không âm:
\(x^4+x^2+1+1+1+1\geq 6\sqrt[6]{x^6}=6|x|\geq 6x\)
\(\Leftrightarrow x^4+x^2+4\geq 6x\)
Suy ra \(p=(x^4+x^2+4)-6x+5\geq 6x-6x+5=5\)
Vậy \(p_{\min}=5\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^4=x^2=1\\ x\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=1\)
b) Phản chứng
Giả sử \(n^2+11n+39\vdots 49\)
Khi đó suy ra \(n^2+11n+39\vdots 7\)
\(\Leftrightarrow n^2+11n+39-7n-35\vdots 7\)
\(\Leftrightarrow n^2+4n+4\vdots 7\)
\(\Leftrightarrow (n+2)^2\vdots 7\)
\(\Leftrightarrow n+2\vdots 7\) (do 7 là số nguyên tố)
Khi đó đặt \(n+2=7t\Rightarrow n^2+11n+39=(7t-2)^2+11(7t-2)+39\)
\(\Leftrightarrow n^2+11n+39=49t^2+49t+21\) không chia hết cho $49$
Điều này mâu thuẫn với điều ta đã giả sử.
Do đó điều giả sử là sai. Hay \(n^2+11n+39\not\vdots 49\)
3) a)
\(P=x^2-6x+9+x^4\)
\(P=\left(x-3\right)^2+x^4\ge0\)
Do \(\left(x-3\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow x^4\ge0\)
Vậy GTNN = 9 khi x=0
3) b)
Ta có: Đạt A là biểu thức đã cho
giả sử: A= \(n^2\) + 11n + 39 \(⋮\) 49 => A \(⋮\) 7
mà : \(n^2\) + 11n + 39 = (n+9)(n+2) +21 \(⋮\) 7
=> (n+9)(n+2) chia hết cho 7
lại có: (n+9) - (n+2) = 7.Nên (n+9) và (n+2) \(⋮\) 7
=>(n+9)(n+2) \(⋮\) 49
mà: (n+9)(n+2) +21 \(⋮\)49
=> 21\(⋮\) 49 vô lí => đpcm
