Bài 1: Cho \(\dfrac{x+16}{9}=\dfrac{y-25}{16}=\dfrac{z+9}{25},2x^3-1=15\)
Tính A= x+y+z
Bài 2: a) Tìm số tự nhiên n để phân số \(\dfrac{7n-8}{2n-3}\) có giá trị lớn nhất
b) Cho đa thức P(x)= \(ãx^3+bx^3+cx+d\) với a, b, c, d là các hệ số nguyên. Biết rằng, P(x) chia hết cho 5 với mọi x nguyên. CMR a,b,c,d đều chia hết cho 5.
c) Gọi a,b,c là đọ dài các cạnh của tam giác. CMR: \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}< 2\)
Bài 3: a) Tìm x, y biết \(x\left(x-y\right)=\dfrac{3}{10}\) và \(y\left(x-y\right)=-\dfrac{3}{50}\)
b) Tìm x, biết: \(\left(x-3\right)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)>0\)
Bài 1: Vì: 2x^3 - 1 = 15
=> 2x^3 = 16
=> x^3 = 8
=> x = 2 (1)
Ta có:
* (x + 16)/9 = (y - 25)/16
<=> (2 + 16)/9 = (y - 25)/16
<=> 18/9 = (y - 25)/16
<=> 2 = (y - 25)/16
<=> y - 25 = 16.2 = 32
=> y = 32+25 = 57 (2)
* (x + 16)/9 = (z + 9)/25
<=> (2 + 16)/9 = (z + 9)/25
<=> 2 = (z + 9)/25
<=> z + 9 = 25.2 = 50
=> z = 50 - 9 = 41 (3)
Từ (1), (2) và (3) => x + y + z = 2 + 57 + 41 = 100
Bài 2:
c) vì a,b,c là độ dài các cạnh của tam giác:
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a< b+c\\b< a+c\\c< a+b\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{b+c}< 1\\\dfrac{b}{a+c}< 1\\\dfrac{c}{a+b}< 1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{b+c}< \dfrac{2a}{a+b+c}\\\dfrac{b}{a+c}< \dfrac{2b}{a+b+c}\\\dfrac{c}{a+b}< \dfrac{2c}{a+b+c}\end{matrix}\right.\)
\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}< \dfrac{2a}{a+b+c}+\dfrac{2b}{a+b+c}+\dfrac{2c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}< 2\) (đpcm)
Bài 3:
b)
Để \(\left(x-3\right)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)>0\)
thì x-3 và \(x+\dfrac{1}{2}\) phải cùng dấu.
mà: \(x-3< x+\dfrac{1}{2}\forall x\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}0< x-3< x+\dfrac{1}{2}\\0>x+\dfrac{1}{2}>x-3\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x>3\\x< -\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy với \(\left[{}\begin{matrix}x>3\\x< -\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\) thì \(\left(x-3\right)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)>0\).
Bài 2:
a) Ta có:
\(\dfrac{7n-8}{2n-3}=\dfrac{2\left(7n-8\right)}{2\left(2n-3\right)}=\dfrac{14n-16}{2\left(2n-3\right)}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{14n-16}{2n-3}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{7\left(2n-3\right)+5}{2n-3}\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(7+\dfrac{5}{2n-3}\right)=\dfrac{7}{2}+\dfrac{5}{4n-6}\)
Để \(\dfrac{7n-8}{2n-3}\) đạt GTLN
\(\dfrac{7}{2}+\dfrac{5}{4n-6}\) phải lớn nhất
\(\Rightarrow\dfrac{5}{4n-6}\) phải lớn nhất (vì \(\dfrac{7}{2}\) không đổi)
\(\Rightarrow4n-6\) phải nhỏ nhất và 4n-6>0 (vì 5 không đổi và 5>0)
=> 4n>6
mà \(n\in N\)
=>n=2
Khi đó:
\(\dfrac{7n-8}{2n-3}=\dfrac{7\cdot2-7}{2\cdot2-3}=6\)
Vậy GTLN của \(\dfrac{7n-8}{2n-3}\) là 6 đạt được khi x=2.
