Câu hỏi của Phương [Support]

Question

Bài 1: Cho $a,b,c>0;a+b+c=9$. CMR:

$\frac{a^3+b^3}{ab+9}+\frac{b^3+c^3}{bc+9}+\frac{c^3+a^3}{ca+9}\ge9$

Bài 2: Cho $a,b,c>0;a^2+b^2+c^2=3$. CMR:

\(\frac{a^2}{a+b^2}+\frac{b^2}{b+c^2}+\frac{c^...

Akai Haruma · Accepted Answer

Bài 1:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$\text{VT}=\frac{a^4}{a^2b+9a}+\frac{b^4}{ab^2+9b}+\frac{b^4}{b^2c+9b}+\frac{c^4}{bc^2+9c}+\frac{c^4}{c^2a+9c}+\frac{a^4}{ca^2+9a}$

$\ge \frac{(a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+a^2)^2}{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+18(a+b+c)}=\frac{4(a^2+b^2+c^2)^2}{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+162}$

Áp dụng BĐT AM-GM:

$a^3+b^3+c^3=\frac{a^3+b^3+b^3}{3}+\frac{b^3+c^3+c^3}{3}+\frac{c^3+a^3+a^3}{3}\geq ab^2+bc^2+ca^2$

Tương tự: $a^3+b^3+c^3\geq a^2b+b^2c+c^2a$

$\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq \frac{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)}{2}$

$\Rightarrow a^3+b^3+c^3+ab(a+b)+bc(c+a)+ca(c+a)\geq \frac{3}{2}[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)]$

$\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\geq \frac{3}{2}[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)]$

$\Leftrightarrow ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\leq 6(a^2+b^2+c^2)$

Do đó: $\text{VT}\geq \frac{4(a^2+b^2+c^2)^2}{6(a^2+b^2+c^2)+162}$

Đặt $a^2+b^2+c^2=t$. Dễ thấy $t\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}=27$. Khi đó:

$\frac{4(a^2+b^2+c^2)^2}{6(a^2+b^2+c^2)+162}-9=\frac{4t^2}{6t+162}-9=\frac{2(t-27)(2t+27)}{6t+162}\geq 0, \forall t\geq 27$

$\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{4t^2}{6t+162}\geq 9$ (đpcm). Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=3$Câu trả lời: Bài 1:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$\text{VT}=\frac{a^4}{a^2b+9a}+\frac{b^4}{ab^2+9b}+\frac{b^4}{b^2c+9b}+\frac{c^4}{bc^2+9c}+\frac{c^4}{c^2a+9c}+\frac{a^4}{ca^2+9a}$

$\ge \frac{(a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+a^2)^2}{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+18(a+b+c)}=\frac{4(a^2+b^2+c^2)^2}{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+162}$

Áp dụng BĐT AM-GM:

$a^3+b^3+c^3=\frac{a^3+b^3+b^3}{3}+\frac{b^3+c^3+c^3}{3}+\frac{c^3+a^3+a^3}{3}\geq ab^2+bc^2+ca^2$

Tương tự: $a^3+b^3+c^3\geq a^2b+b^2c+c^2a$

$\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq \frac{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)}{2}$

$\Rightarrow a^3+b^3+c^3+ab(a+b)+bc(c+a)+ca(c+a)\geq \frac{3}{2}[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)]$

$\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\geq \frac{3}{2}[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)]$

$\Leftrightarrow ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\leq 6(a^2+b^2+c^2)$

Do đó: $\text{VT}\geq \frac{4(a^2+b^2+c^2)^2}{6(a^2+b^2+c^2)+162}$

Đặt $a^2+b^2+c^2=t$. Dễ thấy $t\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}=27$. Khi đó:

$\frac{4(a^2+b^2+c^2)^2}{6(a^2+b^2+c^2)+162}-9=\frac{4t^2}{6t+162}-9=\frac{2(t-27)(2t+27)}{6t+162}\geq 0, \forall t\geq 27$

$\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{4t^2}{6t+162}\geq 9$ (đpcm). Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=3$

Akai Haruma · Answer

Bài 2:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$\text{VT}=a-\frac{ab^2}{a+b^2}+b-\frac{bc^2}{b+c^2}+c-\frac{ca^2}{c+a^2}=(a+b+c)-\left(\frac{ab^2}{a+b^2}+\frac{bc^2}{b+c^2}+\frac{ca^2}{c+a^2}\right)$

$\geq (a+b+c)-\left(\frac{ab^2}{2\sqrt{ab^2}}+\frac{bc^2}{2\sqrt{bc^2}}+\frac{ca^2}{\sqrt{ca^2}}\right)=(a+b+c)-\frac{1}{2}(\sqrt{ab^2}+\sqrt{bc^2}+\sqrt{ca^2})$

$\geq (a+b+c)-\frac{1}{2}\left(\frac{ab+b}{2}+\frac{bc+c}{2}+\frac{ca+a}{2}\right)=\frac{3(a+b+c)-(ab+bc+ac)}{2}$

Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:

$(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)=(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ac)\geq (ab+bc+ac)^2$

$\Rightarrow a+b+c\geq ab+bc+ac$

Do đó: $\text{VT}\geq \frac{3(a+b+c)-(a+b+c)}{2}=\frac{a+b+c}{2}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$Câu trả lời: Bài 2:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$\text{VT}=a-\frac{ab^2}{a+b^2}+b-\frac{bc^2}{b+c^2}+c-\frac{ca^2}{c+a^2}=(a+b+c)-\left(\frac{ab^2}{a+b^2}+\frac{bc^2}{b+c^2}+\frac{ca^2}{c+a^2}\right)$

$\geq (a+b+c)-\left(\frac{ab^2}{2\sqrt{ab^2}}+\frac{bc^2}{2\sqrt{bc^2}}+\frac{ca^2}{\sqrt{ca^2}}\right)=(a+b+c)-\frac{1}{2}(\sqrt{ab^2}+\sqrt{bc^2}+\sqrt{ca^2})$

$\geq (a+b+c)-\frac{1}{2}\left(\frac{ab+b}{2}+\frac{bc+c}{2}+\frac{ca+a}{2}\right)=\frac{3(a+b+c)-(ab+bc+ac)}{2}$

Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:

$(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)=(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ac)\geq (ab+bc+ac)^2$

$\Rightarrow a+b+c\geq ab+bc+ac$

Do đó: $\text{VT}\geq \frac{3(a+b+c)-(a+b+c)}{2}=\frac{a+b+c}{2}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

tthnew · Answer

Èo, tự dưng em nhìn ra lời giải khá đơn giản cho bài 1, Akai Haruma chị xem thử giúp em ạ!

Bài 1:

Ta có $\frac{a^3}{ab+9}+\frac{\sqrt{2}.\sqrt{ab+9}}{4}+\frac{\sqrt{2}.\sqrt{ab+9}}{4}$

$\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{ab+9}.\frac{\sqrt{2}.\sqrt{ab+9}}{4}.\frac{\sqrt{2}.\sqrt{ab+9}}{4}}=\frac{3}{2}a$

$\Rightarrow\frac{a^3}{ab+9}\ge\frac{3}{2}a-\frac{\sqrt{2}.\sqrt{ab+9}}{2}$ (1)

Tương tự ta có $\frac{b^3}{ab+9}\ge\frac{3}{2}b-\frac{\sqrt{2}.\sqrt{ab+9}}{2}$ (2)

Cộng theo vế (1) và (2) ta thu được: $\frac{a^3+b^3}{ab+9}\ge\frac{3}{2}\left(a+b\right)-\sqrt{2}\left(\sqrt{ab+9}\right)$

Hoàn toàn tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế, ta thu được:

$VT\ge3\left(a+b+c\right)-\sqrt{2}\left(\sqrt{ab+9}+\sqrt{bc+9}+\sqrt{ca+9}\right)$

$=27-\sqrt{2}\left(\sqrt{ab+9}+\sqrt{bc+9}+\sqrt{ca+9}\right)$

Áp dụng BĐT cơ bản: $\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}\ge x+y+z$ ta thu được:

$VT\ge27-\sqrt{2}\left(\sqrt{3\left(ab+9+bc+9+ca+9\right)}\right)$

$\ge27-\sqrt{2}\left(\sqrt{3\left(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+27\right)}\right)=9$

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

Đơn giản quá nhễ:D :)))))))))Câu trả lời: Èo, tự dưng em nhìn ra lời giải khá đơn giản cho bài 1, Akai Haruma chị xem thử giúp em ạ!