Question

Áp dụng bđt Cô-si để tìm GTNN của các bđt sau:

a) \(y=\frac{x}{2}+\frac{18}{x}\) với x>0

b) \(y=\frac{x}{2}+\frac{2}{x-1}\) với x>1

c)\(y=\frac{3x}{2}+\frac{1}{x+1}\) với x>-1

d) \(y=\frac{x}{3}+\frac{5}{2x-1}\) với \(x>\frac{1}{2}\)

e) \(y=\frac{1}{1-x}+\frac{5}{x}\) với 0<x<1

f) \(y=\frac{x^3+1}{x^2}\) với x>0

g) \(y=\frac{x^2+4x+4}{x}\) với x>0

h) \(y=x^2+\frac{2}{x^3}\) với x>0

Answer 1

Mình áp dụng luôn Cô - si cho các số ta được

a) \(\frac{x}{2}+\frac{18}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{2}\cdot\frac{18}{x}}=2.\sqrt{9}=2.3=6\)

b) \(y=\frac{x}{2}+\frac{2}{x-1}=\frac{x-1}{2}+\frac{2}{x-1}+\frac{1}{2}\ge2\sqrt{\frac{x-1}{2}\cdot\frac{2}{x-1}}+\frac{1}{2}=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\)

c) \(\frac{3x}{2}+\frac{1}{x+1}=\frac{3\left(x+1\right)}{2}+\frac{1}{x+1}-\frac{3}{2}\ge2\sqrt{\frac{3\left(x+1\right)}{2}\cdot\frac{1}{x+1}}-\frac{3}{2}=2\sqrt{\frac{3}{2}}-\frac{3}{2}=\frac{-3+2\sqrt{6}}{2}\)

Answer 2

h) \(x^2+\frac{2}{x^2}\ge2\sqrt{x^2\cdot\frac{2}{x^2}}=2\sqrt{2}\)

g) \(\frac{x^2+4x+4}{x}=\frac{\left(x+2\right)^2}{x}\ge0\)