Question

a) Chứng minh rằng số n² +2014 với n nguyên dương không là số chính phương.

b) Cho a, b là các số dương thỏa mãn a³ + b³ = a⁵ + b⁵.

Chứng minh rằng: a² + b² ≤ 1 + ab

Answer 1

Lời giải:

a) Ta thấy với $n$ là số nguyên dương thì $n^2$ chia $4$ có thể dư $0$ hoặc $1$

Mà \(2014\equiv 2\pmod 4\)

Do đó \(n^2+2014\equiv 2,3\pmod 4\)

Mà một số chính phương chia $4$ chỉ có thể dư $0,1$, nên $n^2+2014$ không thể là số chính phương.

b)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\((a^5+b^5)(a+b)\geq (a^3+b^3)^2\)

Mà \(a^5+b^5=a^3+b^3\Rightarrow (a^5+b^5)(a+b)\geq (a^5+b^5)(a^3+b^3)\)

\(\Rightarrow a+b\geq a^3+b^3\)

\(\Leftrightarrow (a+b)[1-(a^2-ab+b^2)]\geq 0\)

\(\Rightarrow 1-(a^2-ab+b^2)\geq 0\)

\(\Rightarrow 1+ab\geq a^2+b^2\) (ta có đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=1\)