Question

a) Chứng minh đẳng thức : (x + y + c)³ - x³ - z³ = 3(x + y)(y + z)(z + x)

b) Chứng minh a,b,c ∈ Z thì :

A = (a + b + c)³ - (a + b + c)³ - (b + c - a)³ - (c + a - b)³ ⋮ 24

Answer 1

Đề có đúng ko vậy (x+y+c)³ ???

Answer 2

Cả câu a và b đều sai đề cả đây mới đúng này

a) (x+y+z)³-x³-y³-z³

= \(\left[\left(x+y\right)+z\right]^3-x^3-y^3-z^3\)

= \(\left(x+y\right)^3+3\left(x+y\right)z\left(x+y+z\right)+z^3-x^3-y^3-z^3\)

= \(x^3+3xy\left(x+y\right)+y^3+3\left(x+y\right)z\left(x+y+z\right)-x^3-y^3\)

= \(3\left(x+y\right)\left(xy+zx+zy+z^2\right)\)

= \(3\left(x+y\right)\left[x\left(y+z\right)+z\left(y+z\right)\right]\)

= \(3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)(đpcm)

b) A= \(\left(a+b+c\right)^3-\left(a+b-c\right)^3-\left(b+c-a\right)^3-\left(c+a-b\right)^3\)

Đặt a+b-c = x, b+c-a = y, c+a-b = z

thì x+y+z = a+b+c

⇒ A= (x+y+z)³-x³-y³-z³

Giải tương tự câu a ta có A=3(x+y)(y+z)(z+x)

hay A= \(3\left(a+b-c+b+c-a\right)\left(b+c-a+c+a-b\right)\left(c+a-b+a+b-c\right)\)

= 3. 2b. 2c. 2a

=24 abc ⋮ 24 (đpcm)