a, \(a^2b^2\left(a-b\right)+b^2c^2\left(b-c\right)+c^2a^2\left(c-a\right)\)
\(=a^2b^2\left(a-b\right)-b^2c^2\left(c-b\right)+c^2a^2\left[\left(c-b\right)-\left(a-b\right)\right]\)
\(=a^2b^2\left(a-b\right)-b^2c^2\left(c-b\right)+c^2a^2\left(c-b\right)-c^2a^2\left(a-b\right)\)
\(=\left(a-b\right)\left(a^2b^2-c^2a^2\right)-\left(c-b\right)\left(b^2c^2-c^2a^2\right)\)
\(=\left(a-b\right)a^2\left(b-c\right)\left(b+c\right)-\left(b-c\right)c^2\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)
\(=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a^2b+a^2c-c^2a-c^2b\right)\)
\(=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left[ac\left(a-c\right)+b\left(a-c\right)\left(a+c\right)\right]\)
\(=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)\left(ac+ab+bc\right)\)
b, \(a^4\left(b-c\right)+b^4\left(c-a\right)+c^4\left(a-b\right)\)
\(=a^4\left(b-a+a-c\right)+b^4\left(c-a\right)+c^4\left(a-b\right)\)
\(=a^4\left(b-a\right)+a^4\left(a-c\right)+b^4\left(c-a\right)+c^4\left(a-b\right)\)
\(=\left(a-b\right)\left(c^4-a^4\right)+\left(a-c\right)\left(a^4-b^4\right)\)
\(=\left(a-b\right)\left(c^2-a^2\right)\left(c^2+a^2\right)+\left(a-c\right)\left(a^2-b^2\right)\left(a^2+b^2\right)\)
\(=\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left[\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)-\left(c+a\right)\left(c^2+a^2\right)\right]\)
\(=\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left[a^3+ab^2+a^2b+b^3-c^3-a^2c-ac^2-a^3\right]\)
\(=\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left[a^2\left(b-c\right)+a\left(b^2-c^2\right)+\left(b^3-c^3\right)\right]\)
\(=\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left[a^2+a\left(b+c\right)+b^2+bc+c^2\right]\)
\(=\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left[a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\right]\)
