trước hết ta chứng minh BĐT \(\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+y^2}+\sqrt{c^2+z^2}\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(x+y+z\right)^2}\)bình phương vế trái ta được:
\(a^2+b^2+c^2+x^2+y^2+z^2+2\left(\sqrt{a^2+x^2}.\sqrt{b^2+y^2}+\sqrt{b^2+y^2}.\sqrt{c^2+z^2}+\sqrt{a^2+x^2}.\sqrt{c^2+z^2}\right)\)
áp dụng BĐt bunyakovsky:
\(\sqrt{\left(a^2+x^2\right)\left(b^2+y^2\right)}\ge\sqrt{\left(ab+xy\right)^2}=ab+xy\)
tương tự với các bộ còn lại ta thu được :
\(VT^2\ge a^2+b^2+c^2+x^2+y^2+z^2+2\left(ab+bc+ca+xy+yz+xz\right)=VF^2\)
do đó BĐT trên đúng
Áp dụng vào bài toán:
\(\sqrt{4+x^4}+\sqrt{4+y^4}+\sqrt{4+z^4}\ge\sqrt{\left(2+2+2\right)^2+\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)(*)
giờ tìm MIn của\(x^2+y^2+z^2\)
ta có:\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2xz\)(1)
Áp dụng BĐT cauchy:\(x^2+1\ge2x;y^2+1\ge2y;z^2+1\ge2z\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)(2)
cộng theo vế (1) và (2):
\(3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(x+y+z+xy+yz+xz\right)=12\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)
kết hợp với (*),ta có:
\(VT\ge\sqrt{36+9}=3\sqrt{5}\)
dấu = xảy ra khi x=y=z=1
