1 ) Sửa lại đề : Tính các góc của tứ giác ABCD
Xét tứ giác ABCD có : ^A + ^B + ^C + ^D = 360 ( độ )
^A : ^B : ^C : ^D = 1 : 3 : 4 : 7
=> ^A/1 = ^B/3 = ^C/4 = ^D/7
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau , ta có :
^A/1 = ^B/3 = ^C/4 = ^D/7 = ^A + ^B + ^C + ^D / 1 + 3 + 4 + 7
= 360 / 15 = 24
=> ^A = 24
^B/3 = 24 => ^B = 24 . 3 = 72
^C/4 = 24 => ^C = 24 . 4 = 96
^D/7 = 24 => ^D = 24 . 7 = 168
Vậy ^A = 24 độ ; ^B = 72 độ ; ^C = 96 độ ; ^D = 168 độ
2 ) Gọi tứ giác đó là : ABCD
Ta có hình vẽ :
Gọi giao điểm của AD và BC là : O
Xét tam giác ACO có : AO + CO > AC ( BĐT t/g ) (1)
Xét tam giác ABO có : AO + OB > AB ( BĐT t/g) (2)
Xét tam giác COD có : CO + OD > CD ( BĐT t/g ) (3)
Xét tam giác BOD có : BO + OD > BD ( BĐT t/g ) (4)
Từ (1) ; (2) ; (3) ; (4)
=> AO + CO + AO + OB + CO + OD + BO + OD > AB + AC + CD + BD
=> ( AO + OD + AO + OD ) + ( OB + OC + OB + OC ) > AB + AC + CD + BD
=> 2AD + 2BC > AB + AC + CD + BD
=> AD + BC > AB + AC + CD + BD /2 ( Đpcm )
Đặt độ dài AB = a, BC = b, CD = c, AD = d
Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD
Trong ∆OAB, ta có:
OA + OA > a (bất đẳng thức tam giác) (1)
Trong ∆OCD ta có:
Từ (1) và (2) suy ra:
OA + OB + OC + OD > a + c
Hay AC + BD > a + c (*)
-Trong ∆OAD ta có: OA + OD > d (bất đẳng thức tam giác) (3)
-Trong ∆OBC ta có: OB + OC > b (bất đẳng thức tam giác) (4)
Từ (3) và (4) suy ra: OA + OD + OB + OC > b + d
⇒ AC + BD > b + d (**)
Từ (*) và (**) suy ra: 2(AC + BD) > a + b + c + d
⇒\(AC+BD< \dfrac{a+b+c+d}{2}\)
-Trong ∆ABC ta có: AC < AB + BC = a + b (bất đẳng thức tam giác)
-Trong ∆ADC ta có: AC < AD + DC = c + d (bất đẳng thức tam giác)
Suy ra: 2AC < a + b + c + d
\(AC< \dfrac{a+b+c+d}{2}\) (5)
-Trong ∆ABD ta có: BD < AB + AD = a + d (bất đẳng thức tam giác)
-Trong ∆BCD ta có: BD < BC + CD = b + c (bất đẳng thức tam giác)
Suy ra: 2BD < a + b + c + d
\(BD< \dfrac{a+b+c+d}{2}\) (6)
Từ (5) và (6) suy ra: AC + BD < a + b + c + d
