Lời giải:
Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{5}\)
\(\Leftrightarrow \frac{x+y}{xy}=\frac{1}{5}\)
\(\Leftrightarrow 5(x+y)=xy\)
\(\Leftrightarrow 5x+5y-xy=0\)
\(\Leftrightarrow x(5-y)-5(5-y)=-25\)
\(\Leftrightarrow (x-5)(5-y)=-25\Leftrightarrow (x-5)(y-5)=25\)
Không mất tính tổng quát giả sử \(x\geq y\Rightarrow x-5\geq y-5\)
Khi đó ta xét các TH sau:
TH1: \(\left\{\begin{matrix} x-5=25\\ y-5=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=30\\ y=6\end{matrix}\right.\)
TH2: \(\left\{\begin{matrix} x-5=5\\ y-5=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=10\\ y=10\end{matrix}\right.\)
TH3: \(\left\{\begin{matrix} x-5=-5\\ y-5=-5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=0\) (vô lý)
TH4: \(\left\{\begin{matrix} x-5=-1\\ y-5=-25\end{matrix}\right.\Rightarrow y=-20\not\in\mathbb{Z}^+\) (loại)
Vậy \((x,y)=(30,6); (10,10); (6, 30)\)
