1.Cho tam giác ABC , điểm D nằm trên cạnh BC sao cho \(\frac{DB}{DC}=\frac{1}{2}\); điểm O nằm trên đoạn AD sao cho \(\frac{OA}{OD}=\frac{3}{2}\) . Gọi K là giao điểm của BO và AC . Tính tỷ số AK:AC.
2.Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn , trực tâm H . Một đường thẳng qua H cắt AB,AC theo thứ tự ở P và Q sao cho HP=HQ . Gọi M là trung điểm của BC . Chứng minh rằng tam giác MPQ cân tại M.
Câu 1.
Qua $D$ vẽ đường thẳng song song với $OB$, cắt $AC$ tại $M$
Xét $\Delta ADM$ có $OK//DM$
$\Rightarrow \dfrac{AK}{KM}=\dfrac{OA}{OD}$ (định lí Ta-lét)
Nên $\dfrac{AK}{KM}=\dfrac{3}{2}$ (vì $\dfrac{OA}{OD}=\dfrac{3}{2}$)
Xét $\Delta BKC$ có $DM//BK$
$\Rightarrow \dfrac{KM}{CM}=\dfrac{DB}{DC}$ (định lí Ta-lét)
Nên $\dfrac{KM}{CM}=\dfrac{1}{2}$ (vì $\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{1}{2}$) $\Rightarrow \dfrac{KM}{KM+CM}=\dfrac{1}{1+2} \Rightarrow \dfrac{KM}{KC}=\dfrac{1}{3}$
Do đó $\dfrac{AK}{KC}=\dfrac{AK}{KM}.\dfrac{KM}{KC}=\dfrac{3}{2}.\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2}$
Hình vẽ câu 1 chỉ mang tính chất minh họa.
Hình vẽ câu 2 chỉ mang tính chất minh họa.
Câu 2.
Gọi giao điểm của $AH$ và $BC$ là $I$
Từ $C$ kẻ $CN//PQ (N \in AB)$
Tứ giác $CNPQ$ là hình thang, có $H$ là trung điểm $PQ,$ hai cạnh bên $NP$ và $CQ$ đồng quy tại $A (1).$
Nên $K$ là trung điểm $CN$
$\Rightarrow MK$ là đường trung bình $\Delta BNC$
$\Rightarrow MK//CN \Rightarrow MK//AB$
$H$ là trực tâm $\Delta ABC$ nên \(CH\perp AB\left(2\right)\)
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra \(MK\perp CH\)
$\Rightarrow MK$ là đường cao $\Delta CHK (3)$
Từ \(AH\perp BC\Rightarrow MC\perp HK\)
$\Rightarrow MI$ là đường cao $\Delta CHK (4)$
Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra $M$ là trực tâm $\Delta CHK$
Do đó \(MH\perp CN\Rightarrow MH\perp PQ\)
$\Delta MPQ$ có $MH$ vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên cân tại $M$
