- Nếu cả 3 số đều bằng 0 thì BĐT hiển nhiên đúng
- Nếu \(a+b+c\ne0\)
Do \(0\le a;c\le1\Rightarrow\left(a-1\right)\left(c-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow ac+1\ge a+c\)
\(\Leftrightarrow ac+b+1\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\frac{c}{ac+b+1}\le\frac{c}{a+b+c}\)
Hoàn toàn tương tự, ta có: \(\frac{a}{ab+c+1}\le\frac{a}{a+b+c};\) \(\frac{b}{bc+a+1}\le\frac{b}{a+b+c}\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;1;1\right)\) hoặc \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right);\left(0;1;1\right)\) và hoán vị