Bài 1: Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Mai Thảo

1) Tìm tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số y=\(\sqrt{x^2+1}\) - mx - 1 đồng biến trên khoảng \(\left(-\infty;+\infty\right)\)

2) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = mx - (m+1)cosx đồng biến trên R

Nguyễn Việt Lâm
24 tháng 5 2019 lúc 12:30

Câu 1:

\(y'=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-m\ge0\) \(\forall x\) \(\Rightarrow\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\ge m\) \(\forall x\)

Đặt \(f\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\Rightarrow m\le\min\limits_{x\in R}f\left(x\right)\)

\(f'\left(x\right)=\frac{\sqrt{x^2+1}-\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}=\frac{1}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}>0\) \(\forall x\in R\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến trên R

Xét \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{1}{-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=-1\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)>-1\) \(\forall x\Rightarrow\) để hàm số đã cho đồng biến trên R thì \(m\le-1\)

Câu 2:

\(y'=m+\left(m+1\right)sinx\ge0\) \(\forall x\in R\)

\(\Leftrightarrow m\left(1+sinx\right)\ge-sinx\) \(\Leftrightarrow m\ge\frac{-sinx}{1+sinx}\) \(\forall x\in R\)

Đặt \(f\left(t\right)=\frac{-t}{1+t}\Rightarrow m\ge\max\limits_{t\in\left[-1;1\right]}f\left(t\right)\)

\(f'\left(t\right)=\frac{-1}{\left(t+1\right)^2}< 0\Rightarrow f\left(t\right)\) nghịch biến trên \(\left[-1;1\right]\)

\(\lim\limits_{t\rightarrow-1}\frac{-t}{1+t}=+\infty\)

\(\Rightarrow\) Không tồn tại \(\max\limits_{t\in\left[-1;1\right]}f\left(t\right)\Rightarrow\) không tồn tại m thỏa mãn


Các câu hỏi tương tự
An Hoài Nguyễn
Xem chi tiết
Tâm Cao
Xem chi tiết
Tâm Cao
Xem chi tiết
Nguyễn Thùy Chi
Xem chi tiết
Nguyễn Thùy Chi
Xem chi tiết
Bùi Thị Ngọc Anh
Xem chi tiết
Nguyễn Hồ Kim Trang
Xem chi tiết
Tâm Cao
Xem chi tiết
An Hoài Nguyễn
Xem chi tiết