1: Tìm GTNN: P= \(\left(3+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\left(3+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(3+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\right)\). Trong đó a,b,c>0 thỏa mãn a+b \(\le\dfrac{3}{2}\)
2: Tìm cặp số nguyên x,y sao cho \(x^x+y^2+y=2x+1\)(không có j thêm)
3: a)Cho f(x)= \(x^4+ax^3+bx^2+cx+d\) biết f(1)=10; f(2)= 20; f(3)= 30. Tính M= \(\dfrac{f\left(12\right)-f\left(-8\right)}{10}+25\)
b) Tìm số có 3 cs chia hết cho 9 sao cho thương của phép chia ấy bằng tổng các bp của các chữ số ấy
@phynit, @Akai Haruma, @Ace Legona giúp mk gấp
Bài 1: Sửa \(a+b+c\le\dfrac{3}{2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\dfrac{3}{2}\ge a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow\sqrt[3]{abc}\le\dfrac{1}{2}\)
Áp dụng BĐT Holder ta có:
\(VT=\left(3+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\left(3+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(3+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\right)\)
\(\ge\left(3+\dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}}\right)^3\ge\left(3+2+2\right)^3=343\)
Khi \(a=b=c=\dfrac{1}{2}\)
Bài 1: Một cách thuần túy Am-Gm
Biến đổi:
\(P=\frac{(3ab+a+b)(3bc+b+c)(3ac+a+c)}{(abc)^2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(3ab+a+b=ab+ab+ab+\frac{a+b}{4}+\frac{a+b}{4}+\frac{a+b}{4}+\frac{a+b}{4}\geq 7\sqrt[7]{\frac{(ab)^3(a+b)^4}{4^4}}\)
Tương tự với các biểu thức còn lại và nhân theo vế:
\(P\geq \frac{343\sqrt[7]{\frac{(abc)^6(a+b)^4(b+c)^4(c+a)^4}{4^{12}}}}{(abc)^2}\)
Mặt khác: \((a+b)(b+c)(c+a)\geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=8abc\) (AM-GM)
\(\Rightarrow P\geq \frac{343\sqrt[7]{\frac{(abc)^{10}}{4096}}}{(abc)^2}=343\sqrt[7]{\frac{1}{4096(abc)^4}}\)
AM-GM: \(\frac{3}{2}\geq a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leq \frac{1}{8}\)
Do đó mà \(P\geq 343\) khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
Bài 2:
\(\bullet\) Nếu \(x<0\):
Hiển nhiên \(x=-1\) vì nếu \(x<-1\) thì \(2x+1-y^2-y=x^x\not\in \mathbb{Z}\)
PT tương đương: \(y^2+y=0\Rightarrow y\in \left\{0;-1\right\}\)
\(\bullet\) Nếu \(x\geq 0\):
Ta có: \(x^x+y^2+y=2x+1\Leftrightarrow 4x^x+(2y+1)^2=8x+5\)
Thấy rằng với mọi $y$ nguyên thì \(2y+1\neq 0\Rightarrow (2y+1)^2\geq 1\)
\(\Rightarrow 8x+5\geq 4x^x+1\Leftrightarrow 2x+1\geq x^x\) \((\star)\)
Giờ xét các TH sau:
+ \(x=0\Rightarrow \) \(x^x\) vô nghĩa (loại)
+ \(x=1\) \(\Rightarrow y^2+y-2=0\Rightarrow y\in\left\{1;-2\right\}\)
+ \(x=2\Rightarrow y^2+y-1=0\Rightarrow y\not\in \mathbb{Z}\)
+ \(x\geq 3\) , ta sẽ chỉ ra \(2x+1< x^x\) bằng quy nạp.
Thật vậy, thấy \(x=3,4,5\) khẳng định trên đúng
Giả sử nó cũng đúng với \(x=k\Leftrightarrow 2k+1< k^k\) (\(k>3\))
Ta chỉ cần chỉ ra \(2k+3<(k+1)^{k+1}\)
Điều này hiển nhiên đúng vì:
\((k+1)^{k+1}>k^{k+1}+1>k(2k+1)+1=2k^2+k+1>2k+3\) do \(k>3\)
Vậy có nghĩa là với \(x>3\) ta luôn có \(2x+1< x^x\) (trái với điều đã khẳng định ở \((\star)\)
Vậy bộ nghiệm của PT là \((-1,0),(-1,-1),(1,1),(1,-2)\)
Bài 3:
a)
Dựa vào điều kiện đề bài, ta tìm được \(f(x)\) có dạng:
\(f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-t)+10x\) với $t$ là một số bất kỳ
Khi đó
\(f(12)=990(12-t)+120\)
\(f(-8)=-990(-8-t)-80\)
\(\Rightarrow \frac{f(12)+f(-8)}{10}+25=2009\)
b) Theo bài ra ta có:
\(\overline{abc}=9(a^2+b^2+c^2)\)
Vì \(abc\leq 999\Rightarrow 111\geq a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}\) (Am-Gm)
\(\Leftrightarrow a+b+c\leq 18\) Mà hiển nhiên \(a+b+c\vdots 9\Rightarrow a+b+c\in\left\{9;18\right\}\)
TH1: \(a+b+c=9\Rightarrow \) PT đầu tương đương:
\(11a+b+1=a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow 10a+10-c=81-2(ab+bc+ac)\) \(\rightarrow c\) lẻ
Nếu \(c\geq 7\Rightarrow 11a+b+1\geq a^2+b^2+49\)
\(\Leftrightarrow (a-\frac{11}{2})^2+(b-\frac{1}{2})^2+17,5\leq 0\) (vô ly)
Do đó \(c<7\Rightarrow c=1,3,5\)
Xét \(c=1\rightarrow 11a+b=a^2+b^2\Leftrightarrow 10a+a+b=(a+b)^2-2ab\)
\(\Leftrightarrow 10a+2ab=8^2-8=56\rightarrow a(5+b)=28\)
\(\leftrightarrow (b+5)(8-b)=28\) (pt vô nghiệm nguyên nên loại)
Tương tự:
Xét \(c=3\rightarrow a+b=6\rightarrow a(5+b)=19\) \(\Leftrightarrow (6-b)(b+5)=19\)
Xét \(c=5\rightarrow a+b=4\rightarrow a(5+b)=18\Leftrightarrow (6-b)(b+5)=18\)
Ta thu được 1 nghiệm thỏa mãn là \(b=1\rightarrow a=3\rightarrow \overline{abc}=315\)
TH2: \(a+b+c=18\). PT đầu tương đương:
\(11a+b+2=a^2+b^2+c^2\)
Tương tự như TH1 , ta chứng minh được \(c\) chẵn. Nếu
\(c\geq 6\rightarrow 11a+b+2\geq a^2+b^2+36\)
\(\Leftrightarrow (a-\frac{11}{2})^2+(b-\frac{1}{2})^2+3,5\leq 0\) (vô lý) nên \(c=0,2,4\)
\(c=0\rightarrow a+b=18\rightarrow a=b=9\) (thử lại thấy mâu thuẫn)
\(c=2,4\) hoàn toàn xét tương tự TH1 ta không thu được số nào thỏa mãn.
Vậy số cần tìm là 315
bài 2: \(x=y=-1|;x=-1;y=0|;x=1;y=-2|;x=y=1\)- khao học đã chứng minh
