Question

1. Cho x,y là các số khác 0 và thỏa mãn x+y=1. Tìm GTLN của biểu thức :

P=\(\frac{1}{x^3+y^3+xy}\)

2. Tính P=x² +y² và Q=x²⁰¹³+y²⁰¹⁴

Biết rằng: x>0, y>0 và 1+x+y=\(\sqrt{x}+\sqrt{xy}+\sqrt{y}\)

Answer 1

2.

\(x+y+1=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{xy}\)

\(\Leftrightarrow2x+2y+2=2\sqrt{x}+2\sqrt{y}+2\sqrt{xy}\)

\(\Leftrightarrow x-2\sqrt{xy}+y+x-2\sqrt{x}+1+y-2\sqrt{y}+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{y}-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}=\sqrt{y}\\\sqrt{x}=1\\\sqrt{y}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=1\)

Từ đó suy ra : \(\left\{{}\begin{matrix}P=1^2+1^2=2\\Q=1^{1023}+1^{2014}=2\end{matrix}\right.\)

Answer 2

1.

Xét \(x^3+y^3+xy=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+xy\)

\(=x^2-xy+y^2+xy\)( vì \(x+y=1\))

\(=x^2+y^2\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki :

\(\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2=1\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\)

Từ đó ta có : \(P=\frac{1}{x^2+y^2}\le\frac{1}{\frac{1}{2}}=2\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)