Question

1. Cho x, y thuộc Q. Chứng tỏ rằng:

a) | x+y | < hoặc = | x | + | y |

b) | x-y | > hoặc = | x | - | y |

2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A = | x- 2001 | + | x-1 |

Answer 1

Bài 1:

Với mọi số hữu tỉ ta luôn có: \(\left\{{}\begin{matrix}x\le\left|x\right|\\-x\le\left|x\right|\end{matrix}\right.\) và \(\left\{{}\begin{matrix}y\le\left|y\right|\\-y\le\left|y\right|\end{matrix}\right.\)

Cộng từng đẳng thức lại \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y\le\left|x\right|+\left|y\right|\\-x-y\le\left|x\right|+\left|y\right|\end{matrix}\right.\)

Hay: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y\le\left|x\right|+\left|y\right|\\x+y\ge-\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow-\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)\le x+y\le\left|x\right|+\left|y\right|\)

Vậy \(\left|x+y\right|\le\left|x\right|+\left|y\right|\)

Dấu bằng xảy ra khi \(xy=0\)

Câu b tương tự nhé.

Bài 2:

Ta có:

\(A=\left|x-2001\right|+\left|x-1\right|=\left|2001-x\right|+\left|1-x\right|\ge\left|2001-x+x-1\right|=2000\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\left\{{}\begin{matrix}2001-x\ge0\\x-1\ge0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow2001\ge x\ge1\)

Vậy \(_{min}A=2000\) khi \(2001\ge x\ge1\)

Answer 2

Bài 2:

Ta có: \(A=\left|x-2001\right|+\left|x-1\right|=\left|2001-x\right|+\left|x-1\right|\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\) có:

\(A\ge\left|2001-x+x-1\right|=\left|2000\right|=2000\)

Dấu " = " khi \(\left\{{}\begin{matrix}2001-x\ge0\\x-1\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le2001\\x\ge1\end{matrix}\right.\)

Vậy \(MIN_A=2000\) khi \(1\le x\le2001\)

Answer 3

Bài 2:

\(A=\left|x-2001\right|+\left|x-1\right|=\left|2001-x\right|+\left|x-1\right|\)

(do \(\left|A\left(x\right)\right|=\left|-A\left(x\right)\right|\))

Với mọi giá trị của \(x\in R\) ta có:

\(\left|2001-x\right|\ge2001-x;\left|x-1\right|\ge x-1\)

\(\Rightarrow\left|2001-x\right|+\left|x-1\right|\ge2001-x+x-1\)

\(\Rightarrow\left|2001-x\right|+\left|x-1\right|\ge2000\)

Hay \(A\ge2000\) với mọi giá trị của \(x\in R\)

Dấu "=" xảy ra khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}2001-x\ge0\\x-1\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le2001\\x\ge1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow1\le x\le2001\)

Vậy GTNN của biểu thức A là 2000 đạt được khi và chỉ khi \(1\le x\le2001\)

Chúc bạn học tốt!!!