Ta có hình vẽ sau:
a/ Vì \(\Delta ABC\) cân tại A (gt)
=> AB = AC ; \(\widehat{ABC}=\widehat{ ACB}\)
Xét 2 \(\Delta\) vuông: \(\Delta BEC\) và \(\Delta CDB\) có:
BC:cạnh chung
\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (cmt)
=> \(\Delta BEC=\Delta CDB\left(ch-gn\right)\)
=> BE = CD (cạnh t/ứng)(đpcm)
b/ Ta có:
AE + BE = AB
AD + CD = AC
mà BE = CD (ý a) ; AB = AC (đã cm)
=> AE = AD
Xét 2 \(\Delta\) vuông: \(\Delta AEI\) và \(\Delta ADI\) có:
AI: cạnh chung
AE = AD(cmt)
\(\Rightarrow\Delta AEI=\Delta ADI\left(ch-cgv\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\) (góc t/ứng)
=> AI là tia p/g của góc BAC (đpcm)
c/ Xét \(\Delta AOB\) và \(\Delta AOC\) có:
\(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\) (đã cm)
AB = AC (đã cm)
\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (đã cm)
=> \(\Delta AOB=\Delta AOC\left(g-c-g\right)\)
=> OB = OC (cạnh t/ứng)(đpcm)
và \(\widehat{AOB}=\widehat{AOC}\) (góc t/ứng)
mà \(\widehat{AOB}+\widehat{AOC}=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{AOB}=\widehat{AOC}=90^o\)
\(\Rightarrow AO\perp BC\left(đpcm\right)\)
a)Xét \(\Delta BDC\) và \(\Delta CEB\) có:
\(\widehat{CDB}=\widehat{CEB}\left(=90^o\right)\)
\(BC\) chung
\(\widehat{ACB}=\widehat{ABC}\) (\(\Delta ABC\) cân tại \(A\))
\(\Rightarrow\Delta BDC=\Delta CEB\left(g.c.g\right)\)
Suy ra \(BE=CD\) (2 cạnh tương ứng)
b)Ta có:\(AB=AE+EB\) (\(E\) nằm giữa \(A,B\))
\(AC=AD+DC\) (\(D\) nằm giữa \(A,C\))
Mà \(BE=CD\left(cmt\right)\) và \(AB=AC\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)
Suy ra \(AE=AD\). Xét \(\Delta AIE\) và \(\Delta AID\) có:
\(AI\) chung
\(\widehat{AEC}=\widehat{ADB}=\left(90^o\right)\)
\(AE=AD\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta AIE=\)\(\Delta AID\) (cạnh huyền-cạnh góc vuông)
Suy ra \(\widehat{EAI}=\widehat{DAI}\) ( 2 góc tương ứng )
Suy ra \(AI\) phân giác \(\widehat{BAC}\)
