Chương 4: SỐ PHỨC

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Lê Thị Kim Chi

1. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức | z-1+i | = | z-2-3i |. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = | z+2+i | + | z-3+2i |

2. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức | z-i | = 2. Biết rằng | z | lớn nhất. Tìm phần ảo của z

3. Cho số phức z thỏa \(\overline{z}=\left(i+\sqrt{2}\right)^2\left(1-\sqrt{2}i\right)\). Tìm phần ảo của số phức z

4. Cho 2 số phức z = m + 3i, z' = 2 - (m + 1)i. Tìm giá trị thực của m để z.z' là số thực

5. Cho 3 điểm A, B, M lần lượt biểu diễn các số phức -4, 4i, x + 3i. Với giá trị thực nào của x thì A, B, M thẳng hàng?

6. Cho 2 số phức \(z_1=1+2i\), \(z_2=2-3i\). Xác định phần ảo của số phức \(3z_1-2z_2\)

7. Nếu mô đun số phức z bằng m thì mô đun của số phức \(\left(1-i\right)^2z\) bằng?

8. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn hệ thức | z-1+3i | = 3. Tìm min | z-1-i |

9. Trong mặt phẳng phức tìm điểm biểu diễn số phức z = \(\frac{i^{2017}}{3+4i}\)

10. Trong mặt phẳng phức với hệ trục tọa độ Oxy, điểm biểu diễn của các số phức z = 3 + bi với b \(\in\) R luôn nằm trên đường có phương trình là: A. y = x B. x = 3 C. y = x + 3 D. y = 3

11. Cho 2 số phức \(z_1=1+2i\), \(z_2=2-3i\). Tổng hai số phức là?

12. Cho số phức z = 2 + 5i. Tìm số phức \(w=iz+\overline{z}\)

13. Ký hiệu \(z_0\) là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình \(z^2+z+1=0\). Tìm trên mặt phẳng tọa độ điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức \(w=\frac{i}{z_0}\): A. \(M\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{1}{2}\right)\) B. \(M\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2}\right)\) C. \(M\left(\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{1}{2}\right)\) D. \(M\left(-\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)

14. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức | z+7-5i | = | z-1-11i |. Biết rằng số phức z = x + yi thỏa mãn \(\left|z-2-8i\right|^2+\left|z-6-6i\right|^2\) đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của biểu thức \(p=x^2-y^2\)?

15. Gọi \(z_0\) là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình \(2z^2-6z+5=0\). Điểm nào sau đây biểu diễn số phức \(iz_0\): A. \(M\left(\frac{3}{2};\frac{1}{2}\right)\) B. \(M\left(\frac{3}{2};-\frac{1}{2}\right)\) C. \(M\left(-\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)\) D. \(M\left(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)\)

16. Tính mô đun của số phức \(w=z^2+i\overline{z}\) biết z thỏa mãn \(\left(1+2i\right)z+\left(2+3i\right)\overline{z}=6+2i\)

17. Trong mặt phẳng phức, cho 3 điểm A, B, C lần lượt biểu diễn 3 số phức \(z_1=1+i\), \(z_2=\left(1+i\right)^2\), \(z_3=a-i\left(a\in R\right)\). Để tam giác ABC vuông tại B thì A bằng? A. -3 B. 3 C. -4 D. -2

18. Cho số phức z thỏa mãn (1+2i)z = 3+i. Tính giá trị biểu thức \(\left|z\right|^4-\left|z\right|^2+1\)

19. Cho số phức z = a + (a-1)i (a\(\in R\)). Giá trị thực nào của a để | z | = 1 ?

20. Cho số phức z thoả mãn hệ thức | z+5-i | = | z+1-7i |. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = | |z-4-i| - |z-2-4i| |

21. Trong các số phức z = a + bi thỏa mãn | z-1+2i | =1, biết rằng | z+3-i | đạt giá trị nhỏ nhất. Tính \(p=\frac{a}{b}\)

22. Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức \(z_1=-1+3i\), \(z_2=-3-2i\), \(z_3=4+i\). Chọn kết luận đúng nhất: A. Tam giác ABC cân B. Tam giác ABC đều C. Tam giác ABC vuông D. Tam giác ABC vuông cân

23. Cho số phức z = 5-3i. Tính \(1+\overline{z}+\left(\overline{z}\right)^2\)

24. Cho \(f\left(z\right)=z^3-3z^2+z-1\) với z là số phức. Tính \(f\left(z_0\right)-f\left(\overline{z_0}\right)\) biết \(z_0=1-2i\)

25. Cho số phức z thỏa mãn iz + 2 - i = 0. Khoảng cách từ điểm biểu diễn của z trên mặt phẳng tọa độ Oxy đến điểm M (3;-4) là: A. \(\sqrt{13}\) B. \(2\sqrt{2}\) C. \(2\sqrt{5}\) D. \(2\sqrt{10}\)

Nguyễn Việt Lâm
26 tháng 4 2019 lúc 19:59

Câu 1:

Gọi \(A\left(1;-1\right)\)\(B\left(2;3\right)\Rightarrow\) tập hợp \(z\) thoả mãn điều kiện đề bài là đường trung trực d của đoạn AB, ta dễ dàng viết được phương trình d có dạng \(4x-y-5=0\)

Gọi \(M\left(-2;-1\right)\)\(N\left(3;-2\right)\)\(I\left(a;b\right)\) là điểm bất kì biểu diễn \(z\Rightarrow I\in d\) \(\Rightarrow P=IM+IN\). Bài toán trở thành dạng cực trị hình học phẳng quen thuộc: cho đường thẳng d và 2 điểm M, N cố định, tìm I thuộc d để \(P=IM+IN\) đạt GTNN

Thay toạ độ M, N vào pt d ta được 2 giá trị trái dấu \(\Rightarrow M;N\) nằm về 2 phía so với d

Gọi \(C\) là điểm đối xứng M qua d \(\Rightarrow IM+IN=IC+IN\), mà \(IC+IN\ge CN\Rightarrow P_{min}=CN\) khi I, C, N thẳng hàng

Phương trình đường thẳng d' qua M và vuông góc d có dạng:

\(1\left(x+2\right)+4\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow x+4y+6=0\)

Gọi D là giao điểm d và d' \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+4y+6=0\\4x-y-5=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D\left(\frac{14}{17};-\frac{29}{17}\right)\)

\(\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{DC}\Rightarrow C\left(-2;-1\right)\Rightarrow P_{min}=CN=\sqrt{\left(3+2\right)^2+\left(-2+1\right)^2}=\sqrt{26}\)

Bài 2:

Tập hợp \(z\) là các điểm M thuộc đường tròn (C) tâm \(I\left(0;1\right)\) bán kính \(R=\sqrt{2}\) có phương trình \(x^2+\left(y-1\right)^2=2\)

\(\Rightarrow\left|z\right|=OM\Rightarrow\left|z\right|_{max}\) khi và chỉ khi \(M;I;O\) thẳng hàng và M, O nằm về hai phía so với I

\(\Rightarrow M\) là giao điểm của (C) với Oy \(\Rightarrow M\left(0;1+\sqrt{2}\right)\Rightarrow\) phần ảo của z là \(b=1+\sqrt{2}\)

Câu 3:

\(\overline{z}=\left(i+\sqrt{2}\right)^2\left(1-\sqrt{2}i\right)=5+\sqrt{2}i\)

\(\Rightarrow z=5-\sqrt{2}i\Rightarrow b=-\sqrt{2}\)

Nguyễn Việt Lâm
26 tháng 4 2019 lúc 20:45

Câu 4

\(z.z'=\left(m+3i\right)\left(2-\left(m+1\right)i\right)=2m-\left(m^2+m\right)i+6i+3m+3\)

\(=5m+3-\left(m^2+m-6\right)i\)

Để \(z.z'\) là số thực \(\Leftrightarrow m^2+m-6=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-3\end{matrix}\right.\)

Câu 5:

\(A\left(-4;0\right);B\left(0;4\right);M\left(x;3\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(4;4\right)\\\overrightarrow{AM}=\left(x+4;3\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A,B,M\) khi và chỉ khi \(\frac{x+4}{4}=\frac{3}{4}\Rightarrow x=-1\)

Câu 6:

\(z=3z_1-2z_2=3\left(1+2i\right)-2\left(2-3i\right)=-1+12i\)

\(\Rightarrow b=12\)

Câu 7:

\(w=\left(1-i\right)^2z\)

Lấy môđun 2 vế:

\(\left|w\right|=\left|\left(1-i\right)^2\right|.\left|z\right|=2m\)

Câu 8:

\(3=\left|z-1+3i\right|=\left|z-1-i+4i\right|\ge\left|\left|z-1-i\right|-\left|4i\right|\right|=\left|\left|z-1-i\right|-4\right|\)

\(\Rightarrow\left|z-1-i\right|\ge-3+4=1\)

Nguyễn Việt Lâm
26 tháng 4 2019 lúc 21:12

Câu 9:

\(z=\frac{i^{2017}}{3+4i}=\frac{\left(i^2\right)^{1008}.i}{3+4i}=\frac{i}{3+4i}=\frac{i\left(3-4i\right)}{\left(3-4i\right)\left(3+4i\right)}=\frac{4}{25}+\frac{3}{25}i\)

Điểm biểu diễn z là \(A\left(\frac{4}{25};\frac{3}{25}\right)\)

Câu 10:

\(a=3\Rightarrow z\) nằm trên đường thẳng \(x=3\)

Câu 11:

\(z_1+z_2=1+2i+2-3i=3-i\)

Câu 12:

\(z=2+5i\Rightarrow\overline{z}=2-5i\)

\(\Rightarrow w=i\left(2+5i\right)+2-5i=-3-3i\)

Câu 13:

\(z^2+z+1=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}z_1=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\\z_2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\end{matrix}\right.\) (ném vô casio cho giải pt)

\(\Rightarrow z_0=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\Rightarrow w=\frac{i}{z_0}=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\) (ném vô mode 2 bấm cho lẹ) \(\Rightarrow M\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{1}{2}\right)\)

Câu 14:

Đặt \(z=x+yi\) \(\Rightarrow\left|x+7+\left(y-5\right)i\right|=\left|x-1+\left(y-11\right)i\right|\)

\(\Rightarrow\left(x+7\right)^2+\left(y-5\right)^2=\left(x-1\right)^2+\left(y-11\right)^2\)

\(\Rightarrow4x+3y-12=0\) quỹ đạo là đường thẳng d

Gọi \(A\left(2;8\right);B\left(6;6\right)\) và I là trung điểm AB \(\Rightarrow I\left(4;7\right)\)

\(M\left(x;y\right)\) là điểm biểu diễn \(z\Rightarrow P=MA^2+MB^2\)

Tam giác AMB có MI là trung tuyến ứng với cạnh AB

Theo công thức trung tuyến: \(MA^2+MB^2=2MI^2+\frac{AB^2}{2}\)

\(\Rightarrow P_{min}\) khi và chỉ khi \(MI_{min}\)

Gọi \(C\) là hình chiếu của I lên d \(\Rightarrow\Delta ICM\) vuông tại C, do IM là cạnh huyền và IC là cạnh góc vuông nên \(IM\ge IC\Rightarrow IM_{min}=IC\)

Vậy ta quy về bài toán tìm hình chiếu của I lên d

Đường thẳng qua I vuông góc với d có pt:

\(3\left(x-4\right)-4\left(y-7\right)=0\Leftrightarrow3x-4y+16=0\)

Tọa độ C là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}4x+3y-12=0\\3x-4y+16=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(0;4\right)\)

\(\Rightarrow p=x^2-y^2=0^2-4^2=-16\) (p này khác P kia nha :D)

Nguyễn Việt Lâm
26 tháng 4 2019 lúc 21:36

Câu 15:

\(2z^2-6z+5=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}z_1=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}i\\z_2=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}i\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow z_0=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}i\)

\(\Rightarrow w=iz_0=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i\) \(\Rightarrow M\left(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)\)

Câu 16:

\(z=a+bi\Rightarrow\left(1+2i\right)\left(a+bi\right)+\left(2+3i\right)\left(a-bi\right)=6+2i\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a+b=6\\5a-b=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow z=1+3i\)

\(\Rightarrow\left|w\right|=\left|\left(1+3i\right)^2+i\left(1-3i\right)\right|=\sqrt{74}\)

Câu 17:

\(A\left(1;1\right);B\left(0;2\right);C\left(a;-1\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{BC}=\left(a;-3\right)\\\overrightarrow{AB}=\left(-1;1\right)\end{matrix}\right.\)

\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=0\Rightarrow-a-3=0\Rightarrow a=-3\)

Câu 18:

\(\left(1+2i\right)z=3+i\Rightarrow z=\frac{3+i}{1+2i}=1-i\)

\(\Rightarrow\left|z\right|=\left|1-i\right|=\sqrt{2}\Rightarrow\left|z\right|^4+\left|z\right|^2+1=7\)

Câu 19:

\(\left|z\right|=\sqrt{a^2+\left(a-1\right)^2}=1\Rightarrow2a^2-2a+1=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\\a=1\end{matrix}\right.\)

Nguyễn Việt Lâm
26 tháng 4 2019 lúc 22:09

Câu 20:

Đặt \(z=x+yi\)

\(\left(x+5\right)^2+\left(y-1\right)^2=\left(x+1\right)^2+\left(y-7\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2x+3y-6=0\) (1)

Quỹ tích z là đường thẳng d có pt (1)

Gọi \(A\left(4;1\right);B\left(2;4\right)\) , \(M\left(x;y\right)\) là điểm biểu diễn z thuộc d

\(\Rightarrow P=\left|MA-MB\right|\)

Thay tọa độ A, B vào pt (1) ta được 2 giá trị cùng dấu dương \(\Rightarrow\)A; B nằm cùng phía so với d

Áp dụng BĐT tam giác cho tam giác MAB ta luôn có: \(\left|MA-MB\right|\le AB\) , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M, A, B thẳng hàng hay M là giao điểm của d và đường thẳng AB

\(\Rightarrow P_{max}=AB=\sqrt{\left(2-4\right)^2+\left(4-1\right)^2}=\sqrt{13}\)

//Bài toán xong rồi, nhưng giả sử người ta yêu cầu tìm số phức z thì làm như bên dưới:

Phương trình AB: \(3x+2y-14=0\)

Tọa độ M là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}2x+3y-6=0\\3x+2y-14=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(6;-2\right)\)

Câu 21:

Quỹ tích z là đường tròn tâm \(I\left(1;-2\right)\) bán kính \(R=1\) có pt:

\(\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=1\)

Gọi \(A\left(-3;1\right)\)\(M\left(a;b\right)\) là điểm biểu diễn số phức

\(\Rightarrow MA=\left|z+3-i\right|\)

MA nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của đường thẳng IA và (C), M nằm giữa I và A

Phương trình IA: \(3x+4y+5=0\Rightarrow y=\frac{-5-3x}{4}\)

Thay vào pt (C):

\(\left(x-1\right)^2+\left(\frac{-5-3x}{4}+2\right)^2=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{1}{5}\Rightarrow y=-\frac{7}{5}\\x=\frac{9}{5}\Rightarrow y=-\frac{13}{5}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow p=-\frac{1}{7}\)

Nguyễn Việt Lâm
26 tháng 4 2019 lúc 22:18

Câu 22:

\(A\left(-1;3\right);B\left(-3;-2\right);C\left(4;1\right)\)

\(\Rightarrow AB=\sqrt{29};AC=\sqrt{29};BC=\sqrt{58}\)

\(\Rightarrow ABC\) vuông cân tại A (pitago thấy \(AB^2+AC^2=BC^2\))

Câu 23:

\(\overline{z}=5+3i\Rightarrow1+5+3i+\left(5+3i\right)^2=22+33i\)

Câu 24:

\(f\left(z_0\right)=\left(1-2i\right)^3-3\left(1-2i\right)^2+1-2i-1=-2+12i\)

\(\overline{z_0}=1+2i\Rightarrow f\left(\overline{z_0}\right)=-2-12i\)

\(\Rightarrow-2+12i-\left(-2-12i\right)=24i\)

Câu 25:

\(iz+2-i=0\Rightarrow z=\frac{i-2}{i}=1+2i\) \(\Rightarrow A\left(1;2\right)\)

\(\Rightarrow AM=\sqrt{\left(3-1\right)^2+\left(-4-2\right)^2}=2\sqrt{10}\)


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Tùng Anh
Xem chi tiết
AllesKlar
Xem chi tiết
AllesKlar
Xem chi tiết
AllesKlar
Xem chi tiết
AllesKlar
Xem chi tiết
haudreywilliam
Xem chi tiết
Vũ Thị Dịu
Xem chi tiết
Minh Đức
Xem chi tiết
Sakura Linh
Xem chi tiết