1. Cho hình vuông ABCD , E là điểm nằm trên CD. Gọi F là giao điểm của đường thẳng AE và BC. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với AE cắt đường thẳng CDtại K.
a. Chứng minh tam giác KAF vuông cân.
b. Chứng minh AF.(CK-CF)=BD.FK.
2. Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác đó. Xác định vị trí O để OA.BC+OB.CA+OC.AB đạt GTNN.
a/Xét \(\Delta ADK\&\Delta ABF\) có:
\(\widehat{ADK}=\widehat{ABF}=90\)
\(\widehat{DAK}=\widehat{BAF}\) ( cùng phụ góc DAE)
AD=AB
Suy ra: \(\Delta ADK=\Delta ABF\left(gn-cgv\right)\Rightarrow AK=AF\)
\(\RightarrowĐPCM\)
b/Ta có: \(CK-CF=DK+CD-CF\)(1)
Mà ta có DK=BF ( 2 cạnh t-ư) và CD=BC nên
\(\left(1\right)\Rightarrow CK-CF=BF-CF+BC=2BC\)
Vậy ta cần CM: \(2AF.BC=BD.FK\Leftrightarrow\frac{AF}{FK}=\frac{BD}{2BC}\)
Có KAF vuông cân nên \(FK=\sqrt{2}AF\Rightarrow\frac{AF}{FK}=\frac{AF}{\sqrt{2}AF}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(1\right)\)
Lại có ABCD là h/vuông nên BDC vuông cân nên
\(BD=\sqrt{2}BC\Rightarrow\frac{BD}{2BC}=\frac{\sqrt{2}BC}{2BC}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(2\right)\)
(1) và (2) suy ra ĐPCM
2/ Cho AO cắt BC tại I, kẻ BE vuông góc AI
Ta có: \(S_{ABO}=\frac{1}{2}AO.BE\le\frac{1}{2}AO.BI\left(1\right)\)
Tương tự như trên ta cũng CM được: \(S_{AOC}\le\frac{1}{2}AO.CI\left(2\right)\)
Cộng (1) và (2) có: \(S_{ABOC}\le\frac{1}{2}AO.BC\)
\(\Rightarrow2S_{ABOC}\le OA.BC\left(3\right)\)
Tương tự ta cũng có: \(2S_{AOCB}\le OB.AC\left(4\right)\)
Và: \(2S_{AOBC}\le OC.AB\)(5)
Cộng \(\left(3\right),\left(4\right),\left(5\right)\Rightarrow4S_{ABC}\le OA.BC+OB.CA+OC.AB\)
Dấu bằng xảy ra khi O là trực tâm