Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
bach nhac lam

1. Cho a,b,c>0. Cmr: \(\frac{a}{\left(b+c\right)^2}+\frac{b}{\left(c+a\right)^2}+\frac{c}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{9}{4\left(a+b+c\right)}\)

Ngô Bá Hùng
29 tháng 10 2019 lúc 9:09

Ta có:

\(\left(a+b+c\right)\left[\frac{a}{\left(b+c\right)^2}+\frac{b}{\left(c+a\right)^2}+\frac{c}{\left(a+b\right)^2}\right]\\=\left[\left(\sqrt{a}\right)^2+\left(\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{c}\right)^2\right]\left[\left(\frac{\sqrt{a}}{b+c}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{b}}{b+c}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{c}}{a+c}\right)^2\right]\ge\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)^2\)

Mà ta có:

\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\) (BĐT Nesbit)

\(\Rightarrow\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)^2\ge\frac{9}{4}\\ \Rightarrow\left(a+b+c\right)\left[\frac{a}{\left(b+c\right)^2}+\frac{b}{\left(c+a\right)^2}+\frac{c}{\left(a+b\right)^2}\right]\ge\frac{9}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{\left(b+c\right)^2}+\frac{b}{\left(c+a\right)^2}+\frac{c}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{9}{4\left(a+b+c\right)}\left(đpcm\right)\)

Khách vãng lai đã xóa
zZz Cool Kid zZz
5 tháng 11 2019 lúc 21:45

\(\left(a+b+c\right)\left[\frac{a}{\left(b+c\right)^2}+\frac{b}{\left(c+a\right)^2}+\frac{c}{\left(a+b\right)^2}\right]\)

\(=\left(\frac{a}{b+c}\right)^2+\left(\frac{b}{c+a}\right)^2+\left(\frac{c}{a+b}\right)^2+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)

\(=\left(\frac{a}{b+c}\right)^2+\frac{1}{4}+\left(\frac{b}{c+a}\right)^2+\frac{1}{4}+\left(\frac{c}{a+b}\right)^2+\frac{1}{4}+\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)-\frac{3}{4}\)

\(\ge2\cdot\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)-\frac{3}{4}=\frac{9}{4}\) ( dpcm )

Khách vãng lai đã xóa
tthnew
7 tháng 11 2019 lúc 16:23

Ad Lâm chuẩn hóa a + b + c = 3 rồi nên em chuẩn hóa a + b + c = 1 nha:D

Chuẩn hóa a + b + c = 1 \(\Rightarrow0< a,b,c< 1\)

BĐT quy về: \(\Sigma\frac{a}{\left(1-a\right)^2}\ge\frac{9}{4}\)

Ta chứng minh BĐT phụ sau:

\(\frac{a}{\left(1-a\right)^2}\ge\frac{9}{2}a-\frac{3}{4}\Leftrightarrow\frac{\left(27-18x\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)^2}{4\left(1-x\right)^2}\ge0\)(đúng)

Thiết lập tương tự các BĐT còn lại và cộng theo vế thu được đpcm:)

Khách vãng lai đã xóa
bach nhac lam
28 tháng 10 2019 lúc 23:31

Vũ Minh Tuấn, @Nk>↑@, tth, HISINOMA KINIMADO, Nguyễn Huy Thắng, Nguyễn Ngọc Linh,

Nguyễn Lê Phước Thịnh, Phạm Minh Quang, Nguyễn Ngọc Linh, No choice teen, @Nguyễn Việt Lâm,

@Akai Haruma

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
asuna
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
khoimzx
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
Châu Hà
Xem chi tiết
Lê Đình Quân
Xem chi tiết
Khánh Ngọc
Xem chi tiết