Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Lê Nguyễn Phương Hà

1. Cho a, b, c > 0. CM:

\(\dfrac{a^3+b^3}{2ab}+\dfrac{b^3+c^3}{2bc}+\dfrac{c^3+a^3}{2ac}\ge a+b+c\)

2. Cho a, b, c, d là các số dương. CM:

\(\dfrac{a-b}{b+c}+\dfrac{b-c}{c+d}+\dfrac{c-d}{a+d}+\dfrac{d-a}{a+b}\ge0\)

Neet
16 tháng 4 2017 lúc 12:06

Bài 1:ta có BĐt \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)vì nó tương đương với \(\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng với a,b>0)

Áp dụng vào bài toán:

\(\dfrac{a^3+b^3}{2ab}+\dfrac{b^3+c^3}{2bc}+\dfrac{c^3+a^3}{2ac}\ge\dfrac{ab\left(a+b\right)}{2ab}+\dfrac{bc\left(b+c\right)}{2bc}+\dfrac{ca\left(c+a\right)}{2ac}=a+b+c\)dấu = xảy ra khi a=b=c

bài 2:

cần chứng minh \(\dfrac{a-b}{b+c}+\dfrac{b-c}{c+d}+\dfrac{c-d}{d+a}+\dfrac{d-a}{a+b}\ge0\)

hay \(\dfrac{a-b}{b+c}+1+\dfrac{b-c}{c+d}+1+\dfrac{c-d}{d+a}+1+\dfrac{d-a}{a+b}+1\ge4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+c}{b+c}+\dfrac{b+d}{c+d}+\dfrac{c+a}{d+a}+\dfrac{d+b}{a+b}\ge4\)

xét \(VT=\left(a+c\right)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+d}\right)+\left(b+d\right)\left(\dfrac{1}{c+d}+\dfrac{1}{a+b}\right)\)

Áp dụng BĐT cauchy dạng phân thức:

\(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+d}\ge\dfrac{4}{a+b+c+d};\dfrac{1}{c+d}+\dfrac{1}{a+b}\ge\dfrac{4}{a+b+c+d}\)

do đó \(VT\ge\dfrac{4\left(a+c\right)}{a+b+c+d}+\dfrac{4\left(b+d\right)}{a+b+c+d}=4\)

dấu = xảy ra khi a=b=c=d


Các câu hỏi tương tự
Lâm Tinh Thần
Xem chi tiết
Xem chi tiết
Võ Đông Anh Tuấn
Xem chi tiết
Lê Huy Minh
Xem chi tiết
Hoàng Minh Ngọc
Xem chi tiết
Võ Thị Hồng Phúc
Xem chi tiết
Trần Huỳnh Cẩm Hân
Xem chi tiết
Nấm Chanel
Xem chi tiết
Nguyễn Đắc Định
Xem chi tiết