Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Phạm Dương Ngọc Nhi

1) \(2\sqrt{x+3}=x-1+4\sqrt{2x-1}\)

2) \(\sqrt[4]{x-1}+\sqrt[4]{5-x}=2\)

3) \(\sqrt[3]{1-2x}+\sqrt{x+3}=1\)

4) \(\dfrac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{1-x}}=x^2-2x+2\)

Akai Haruma
19 tháng 2 2019 lúc 23:32

Câu 1:

ĐKXĐ: \(x\geq \frac{1}{2}\)

Ta có: \(2\sqrt{x+3}=x-1+4\sqrt{2x-1}\)

\(\Leftrightarrow (x-1)+4\sqrt{2x-1}-2\sqrt{x+3}=0\)

\(\Leftrightarrow x-1+2(2\sqrt{2x-1}-\sqrt{x+3})=0\)

\(\Leftrightarrow x-1+2.\frac{4(2x-1)-(x+3)}{2\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+3}}=0\) (liên hợp)

\(\Leftrightarrow (x-1)+\frac{14(x-1)}{2\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+3}}=0\)

\(\Leftrightarrow (x-1)\left(1+\frac{14}{2\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+3}}\right)=0\)

Với mọi \(x\geq \frac{1}{2}\) ta luôn có \(1+\frac{14}{2\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+3}}>0\). Do đó \(x-1=0\rightarrow x=1\) là nghiệm duy nhất

Akai Haruma
20 tháng 2 2019 lúc 0:10

Câu 2:

ĐKXĐ: \(1\leq x\leq 5\)

Đặt \(\sqrt[4]{x-1}=a; \sqrt[4]{5-x}=b(a,b\geq 0)\). Khi đó ta có:

\(\left\{\begin{matrix} a+b=2\\ a^4+b^4=4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a^4+(2-a)^4=4\)

Đặt \(1-a=m\) thì pt trở thành:

\((1-m)^4+(m+1)^4=4\)

\(\Leftrightarrow 2m^4+12m^2+2=4\)

\(\Leftrightarrow m^4+6m^2-1=0\)

\(\Leftrightarrow (m^2+3)^2=10\Rightarrow m^2=\sqrt{10}-3\Rightarrow m=\pm \sqrt{\sqrt{10}-3}\)

\(\Rightarrow a=1\pm \sqrt{\sqrt{10}-3}\)

\(\Rightarrow x=(1\pm \sqrt{\sqrt{10}-3})^4+1\)

Akai Haruma
20 tháng 2 2019 lúc 0:28

Câu 3:

ĐK: \(x\geq -3\). Đặt \(\sqrt[3]{1-2x}=a; \sqrt{x+3}=b\). Khi đó ta có:
\(\left\{\begin{matrix} a+b=1\\ a^3+2b^2=7\end{matrix}\right.\Rightarrow a^3+2(1-a)^2=7\)

\(\Leftrightarrow a^3+2a^2-4a-5=0\)

\(\Leftrightarrow (a+1)(a^2+a-5)=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} a=-1\\ a=\frac{-1\pm \sqrt{21}}{2}\end{matrix}\right.\). Vì \(b\geq 0\Rightarrow a=1-b\leq 1\). Do đó \(a=-1; a=\frac{-1-\sqrt{21}}{2}\)

\(\Rightarrow x=\frac{1-a^3}{2}=\left[\begin{matrix} 1\\ \frac{9+3\sqrt{21}}{2}\end{matrix}\right.\)

Akai Haruma
20 tháng 2 2019 lúc 0:35

Câu 4: ĐK: \(0\leq x\leq 1\)

Thử ta dễ thấy $x=0$ không phải nghiệm của pt. Do đó $x\neq 0$

\(\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{1-x}}=x^2-2x+2\)

\(\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x}(1-\sqrt{1-x})}{(1+\sqrt{1-x})(1-\sqrt{1-x})}=(x^2-2x+1)+1\)

\(\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x}(1-\sqrt{1-x})}{1-(1-x)}=(1-x)^2+1\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{x}-\sqrt{x(1-x)}=(1-x)^2+1\)

\(\Leftrightarrow (1-x)^2+(1-\sqrt{x})+\sqrt{x(1-x)}=0\)

\(\Leftrightarrow (1-x)^2+\frac{1-x}{1+\sqrt{x}}+\sqrt{x(1-x)}=0\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{1-x}\left[(\sqrt{1-x})^3+\frac{\sqrt{1-x}}{1+\sqrt{x}}+\sqrt{x}\right]=0\)

Vì với mọi \(0< x\leq 1\) thì \((\sqrt{1-x})^3+\frac{\sqrt{1-x}}{1+\sqrt{x}}+\sqrt{x}>0\), do đó \(\sqrt{1-x}=0\Rightarrow x=1\) là nghiệm duy nhất của pt.


Các câu hỏi tương tự
Thánh cao su
Xem chi tiết
Kim Trí Ngân
Xem chi tiết
Phạm Dương Ngọc Nhi
Xem chi tiết
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Hằng
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
Dương Thanh Ngân
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết