Question

Bài 20. Một hộp dựng qua dạng hình lăng trụ đứng \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy là hình thoi. Biết thể tích của hộp là \(1280 \, \text{cm}^3\) và chiều cao của hộp là \(20 \, \text{cm}\). Tính độ dài cạnh đáy hộp quả để diện tích xung quanh của hộp là nhỏ nhất.

Answer 1

Gọi độ dài cạnh đáy là x (cm) (x>0), 2 nửa đường chéo của hình thoi là a, b (cm) (a,b > 0)

Diện tích xung quanh của hộp là 4x.20 = 80x (cm²)

Để diện tích xung quanh của hộp là nhỏ nhất => x nhỏ nhất

Thể tích hình thoi là \(\dfrac{1}{2}.2a.2b.20=1280\Rightarrow ab=32\left(cm^2\right)\)

Vì a,b là 2 cạnh góc vuông trong tam giác vuông có đường chéo bằng x

=> x² = a² + b² \(\ge2\sqrt{a^2b^2}=2ab=2.32=64\) => \(x\ge8\)

Dấu "=" xảy ra khi a² = b² => a = b => Đáy là hình vuông vì hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau

Vậy độ dài cạnh đáy hộp quả để diện tích xung quanh hộp nhỏ nhất là 8cm khi đáy là hình vuông