a, Vì BE là đường phân giác
\(\dfrac{AB}{BH}=\dfrac{AI}{IH}\Rightarrow AB.IH=AI.BH\)
b, Xét tam giác BHA và tam giác BAC có :
^B _ chung
^BHA = BAC = 900
Vậy tam giác BHA ~ tam giác BAC ( g.g )
=> AB / BC = BH / AB => AB^2 = BC.BH
c, Vì BE là phân giác ^B nên \(\dfrac{AB}{BH}=\dfrac{AI}{IH}\Rightarrow\dfrac{IH}{AI}=\dfrac{BH}{AB}\)
hay \(\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AE}{EC}\)MÀ AB/BC = BH/AB (cmb)
suy ra \(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{IH}{AI}\)
Lời giải:
a. Tam giác $ABH$ có phân giác $BI$, áp dụng tính chất tia phân giác:
$\frac{IH}{IA}=\frac{BH}{BA}$
$\Rightarrow IH.BA=IA.BH$ (đpcm)
b.
Xét tam giác $BHA$ và $BAC$ có:
$\widehat{B}$ chung
$\widehat{BHA}=\widehat{BAC}=90^0$
$\Rightarrow \triangle BHA\sim \triangle BAC$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{BH}{BA}=\frac{BA}{BC}\Rightarrow AB^2=BH.BC$
c.
Xét tam giác $ABC$ có phân giác $BE$, áp dụng tính chất tia phân giác:
$\frac{AE}{EC}=\frac{AB}{BC}$
Mà $\frac{AB}{BC}=\frac{BH}{AB}$ (theo kết quả phần b)
Và $\frac{BH}{AB}=\frac{IH}{IA}$ (theo kết quả phần a)
Do đó: $\frac{AE}{EC}=\frac{IH}{IA}$ (đpcm)
d. Có:
$\widehat{E_1}=90^0-\widehat{B_1}=90^0-\frac{1}{2}\widehat{B}$
$\widehat{I_1}=\widehat{BIH}=90^0-\widehat{B_2}=90^0-\frac{1}{2}\widehat{B}$
Do đó: $\widehat{E_1}=\widehat{I_1}$ suy ra $AIE$ cân tại $A$.
