Lời giải:
Để đths $(1)$ có 2 điểm cực trị $B,C$ thì pt $y'=3x^2-3m=0$ có 2 nghiệm pb $x_B,x_C$
Điều này xảy ra khi $\Delta'=m>0$. Áp dụng định lý Viet: $x_B+x_C=0$
$y_B=x_B^3-3mx_B+1=mx_B-3mx_B+1=-2mx_B+1$
$y_C=-2mx_C+1$
Để $ABC$ cân tại $A$ thì $AB^2=AC^2$
$\Leftrightarrow (x_B-2)^2+(y_B-3)^2=(x_C-2)^2+(y_C-3)^2$
$\Leftrightarrow x_B^2+y_B^2-4x_B-6y_B=x_C^2+y_C^2-4x_C-6y_C$
$\Leftrightarrow (x_B^2-x_C^2)+(y_B^2-y_C^2)-4(x_B-x_C)-6(y_B-y_C)=0$
$\Leftrightarrow (x_B-x_C)(x_B+x_C-4)+(y_B-y_C)(y_B+y_C-6)=0$
$\Leftrightarrow (x_B-x_C)(-4)-2m(x_B-x_C)(2-6)=0$
$\Leftrightarrow -4(x_B-x_C)+8m(x_B-x_C)=0$
Vì $x_B\neq x_C$ nên $-4+8m=0$
$\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}$
