Cho x, y, z dương thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+xy+y^2=1\\y^2+yz+z^2=\dfrac{1}{4}\\x^2+xz+z^2=\dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\)

Tính B=x+y+z

Chỉ tìm được max thôi, chắc không có min đâu

Tìm Max hay Min bạn

Ta chứng minh bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki dạng phân thức:

\(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\\ \Leftrightarrow\dfrac{a^2y+b^2x}{xy}\ge\dfrac{a^2+b^2+2ab}{x+y}\\ \Leftrightarrow\left(a^2y+b^2x\right)\left(x+y\right)\ge xy\left(a^2+b^2+2ab\right)\\ \Leftrightarrow a^2xy+a^2y^2+b^2x^2+b^2xy\ge a^2xy+b^2xy+2abxy\\ \Leftrightarrow a^2y^2-2abxy+b^2x^2\ge0\\ \Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\)

(luôn đúng với mọi a, b, x, y). Dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\)

\(CMT^2:\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}+\dfrac{c^2}{z}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}\)

Áp dụng vào bài toán, ta có:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\dfrac{9}{3}=3\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}\Leftrightarrow a=b=c\)

Mà \(a+b+c=3\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Vậy Min P=3 khi a=b=c=1

Ta có: \(\left(2x-1\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\) B nhỏ nhất khi \(4x^2-6x+1\)có giá trị nhỏ nhất

Mà: \(4x^2-6x+1=4\left(x^2-2.\dfrac{3}{4}x+\dfrac{9}{16}\right)-\dfrac{5}{4}=4\left(x-\dfrac{3}{4}\right)^2-\dfrac{5}{4}\ge\dfrac{-5}{4}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{4}\)

\(\Rightarrow\min\limits_{\left(4x^2-6x+1\right)}=\dfrac{-5}{4}.\)  khi \(x=\dfrac{3}{4}\)

\(\Rightarrow\left(2x-1\right)^2=\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\min\limits_B=\dfrac{-5}{4}:\dfrac{1}{4}=\dfrac{-5}{4}.4=-5\)  Khi \(x=\dfrac{3}{4}\)

Ta có cách tính cạnh của một đa giác là :

\(\dfrac{\left(a-3\right).a}{2}\),trong đó a là số đỉnh \(\Rightarrow\) đa giác có a cạnh

\(\Rightarrow\dfrac{\left(a-3\right).a}{2}-a=7\Leftrightarrow\dfrac{a^2-3a-2a}{2}=7\\ \Rightarrow a^2-5a=14\)

\(\Rightarrow a\left(a-5\right)=14.\)

Vì a là số cạnh nên a>1 và a>a-5

\(\Rightarrow a\left(a-5\right)=2.7\Rightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}a=7\\\\a-5=2\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow a=7\)

Vậy đa giác có 7 cạnh